ขีด จำกัด กับอาร์กแทน

Question

ฉันต้องการคำนวณขีด จำกัด อื่น $$ \underset{x\rightarrow\infty}{\lim}\left(\frac{2}{\pi}\arctan x\right)^{\sin\left(2/x\right)}$$

ฉันไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นอย่างไรหรือจะทำอย่างไรเพราะฉันไม่เคยจัดการกับอาร์กแทนอย่าง จำกัด มาก่อน

ควรทำอะไรก่อน?

Answer 1

$\lim_{x \to \pi/2} \tan x = \infty$ดังนั้น $\lim_{x \to \infty} \arctan x = \frac{\pi}{2}$, เช่น $\tan x$ และ $\arctan x$ เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกันสำหรับ $x \in [0, \pi/2)$.

ส่วนที่เหลือเป็นเพียงการเปลี่ยนตัวโดยตรง คุณควรได้รับ:

$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\sin(0)} = \lim_{x \to \infty} 1^0 = \boxed{1}.$$

Answer 2

ก่อนอื่นอย่าตกใจ! :-)

มีเอกลักษณ์ที่ดีสำหรับอาร์กแทนเจนต์: $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}= \begin{cases} \pi/2 & x>0 \\[4px] -\pi/2 & x<0 \end{cases} $$ เนื่องจากขีด จำกัด สำหรับ $x\to\infty$ไม่ได้ จำกัด ที่จะถือว่า $x>0$ดังนั้น $$ \arctan x=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{1}{x} $$ และการตั้งค่า $y=1/x$ขีด จำกัด จะกลายเป็น $$ \lim_{y\to0^+}\Bigl(1-\frac{2}{\pi}\arctan y\Bigr)^{\sin2y} $$ ซึ่งไม่ใช่รูปแบบที่ไม่แน่นอนเนื่องจากเป็น $1^0=1$.