กลุ่มคลิฟฟอร์ด จำกัด หรือไม่?

Question

สำหรับการแก้ไขใด ๆ $n$เราจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าไฟล์ $n$-qubit Clifford group (กลุ่มย่อยของ $ U(2^n) $สร้างโดย Hadmard gates, phase-shift gates และ CNOT gates) เป็น finte หรือไม่? ฉันรู้ว่าสำหรับกรณี qubit เดียวซึ่งมีเพียงประตู H และประตู S เท่านั้นที่เกี่ยวข้องมันเป็นกลุ่มที่ จำกัด เนื่องจากประตูทั้งสองนี้สอดคล้องกับ$\pi$การหมุนบนทรงกลม Bloch ตามแนวแกนที่แสดงให้เห็นถึงความสมมาตร ฉันเดาว่ามันยังคงมีข้อ จำกัด ในกรณีที่มีหลาย qubit แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีพิสูจน์ได้อย่างเข้มงวด

ยิ่งไปกว่านั้นถ้าเป็นจำนวน จำกัด การแสดงออกของจำนวนองค์ประกอบในกลุ่มเป็นฟังก์ชันของอะไร $n$เหรอ?

Answer 1

บางครั้งมีความสับสนเล็กน้อยเกี่ยวกับกลุ่ม Clifford ในสนาม ... และมันเป็นเรื่องของคำจำกัดความ

ผู้คนจำนวนมากให้คำจำกัดความของกลุ่มคลิฟฟอร์ด $\mathrm{Cl}_n(p)$ ของ $n$ การดับของมิติที่สำคัญ $p$ในฐานะผู้ดูแลระบบรวมของกลุ่ม Pauli ทั่วไป (เช่น Gottesman, Nielsen & Chuang) ด้วยเหตุนี้จึงเห็นได้ชัดว่าไม่ใช่กลุ่มที่ จำกัด อย่างที่เป็นศูนย์กลาง$U(1)$.

อย่างไรก็ตามนี่เป็นคำจำกัดความที่ไม่ดีเช่นกันทั้งจากมุมมองทางคณิตศาสตร์และทางกายภาพ ทำไม? ประการแรกเนื่องจากจุดศูนย์กลางนั้นน่าเบื่อทางคณิตศาสตร์และไม่ได้เพิ่มอะไรให้กับโครงสร้างของกลุ่มและประการที่สองเนื่องจากระยะทั่วโลกของการรวมกันนั้นไม่เป็นไปตามเงื่อนไข

มีสามวิธีในการแก้ไขปัญหานี้:

1. กำหนดโดยเครื่องกำเนิดไฟฟ้า (ดูกระดาษของ Gottesman เกี่ยวกับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าขนาดสูงกว่า) จากนั้นเป็นที่ชัดเจนว่ามีข้อ จำกัด เนื่องจากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าทั้งหมดมีรายการเมทริกซ์พีชคณิต เมื่อใช้เครื่องกำเนิดไฟฟ้ามาตรฐานคุณจะยังคงได้จุดศูนย์กลางที่ใหญ่เกินไปในกรณี qubit:$\mathbb{Z}_8$. หนึ่งที่น้อยที่สุดคือ$\mathbb{Z}_4$ ในกรณี qubit an $\mathbb{Z}_p$ในกรณี qudit นิยามใหม่ของ$H$ ประตูเป็น $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ ทำให้จุดศูนย์กลางน้อยที่สุดสำหรับ qubits
2. คุณสามารถกำหนดเป็น Normaliser ในกลุ่มรวมที่มีรายการใน $\mathbb{Q}[i]$(จำนวนเชิงซ้อนเชิงเหตุผล) สิ่งนี้จะทำให้คุณได้กลุ่มที่มีศูนย์กลางน้อยที่สุด (ดูอ้างอิง 1)
3. กำหนดกลุ่มโปรเจ็กต์ $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$หรือในทำนองเดียวกันภาพที่อยู่ภายใต้การแทนคำร่วมนั่นคือ ~ ช่องรวมที่เกี่ยวข้องกับ Cliffords องค์ประกอบของมันสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นการเรียงสับเปลี่ยนของตัวดำเนินการ Pauli (อาจมีการเพิ่มขั้นตอน) ซึ่งรักษาความสัมพันธ์ในการสับเปลี่ยน เนื่องจากมี$p^{2n}$ ตัวดำเนินการ Pauli จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนมีจำนวน จำกัด (และก็คือ $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). นอกจากนี้ยังถือ$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ ที่ไหน $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ คือกลุ่ม Pauli (ทั่วไป) ถึงเฟสและ $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ เป็นกลุ่มสัญลักษณ์เหนือเขตข้อมูล จำกัด $\mathbb{F}_p$. ความสำคัญของมันคือ$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ ดังนั้นกลุ่มคลิฟฟอร์ดที่คาดการณ์ไว้จึงมีความสำคัญ $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$สำหรับคนที่ไม่ใช่แบบฉายภาพเราจะต้องคูณด้วยลำดับของจุดศูนย์กลาง สำหรับการอ้างอิงโปรดดูเช่น Ref. 2

อ้างอิง:

1. Gabriele Nebe, EM Rains และ NJA Sloane “ ความคงที่ของกลุ่ม Clifford”
2. D. Gross "ทฤษฎีบทของฮัดสันสำหรับระบบควอนตัมมิติ จำกัด "