ลำดับจำนวนเต็ม A178157

Sep 23 2020

http://oeis.org/A178157

A178157 คือลำดับตัวเลขที่อธิบายตัวเลขที่หารด้วยคำนำหน้าทั้งหมด ตัวอย่างเช่น 2020 อยู่ในลำดับเนื่องจาก 2020 หารด้วย 2, 20 และ 202 (และ 2020) ได้ อย่างไรก็ตามฉันสังเกตเห็นหลังจาก 100 ตัวเลขทั้งหมดในลำดับลงท้ายด้วยศูนย์ คำถามของฉันคือมีตัวเลขในลำดับ A178157 มากกว่า 100 ที่ไม่ได้ลงท้ายด้วยศูนย์หรือไม่?

ความก้าวหน้าของฉันเอง:

เพื่อนของฉันเขียนรหัสและตรวจสอบตัวเลขทั้งหมดสูงถึง 100 ล้านโดยไม่มีโชค มีข้อพิสูจน์ว่าตัวเลขทั้งหมดที่มากกว่า 100 ในลำดับนี้ต้องลงท้ายด้วยศูนย์หรือไม่?

โอกาสในการขายเพียงอย่างเดียวที่ฉันคิดได้ในการพยายามพิสูจน์ก็คือตัวเลขต้องไม่มีศูนย์ใด ๆ เพราะจะมีคำต่อท้ายที่ลงท้ายด้วยศูนย์

ที่น่าสนใจก็คือมีลำดับที่คล้ายกันคือ A178158 ซึ่งดูที่คำต่อท้ายแทนคำนำหน้าและมีตัวเลขจำนวนมากในลำดับที่ไม่มีศูนย์เช่น 53125 หารด้วย 5, 25, 125, 3125 ได้ , (และ 53125) ไม่มีตัวเลขใดในลำดับนี้ลงท้ายด้วยศูนย์ซึ่งพิสูจน์ได้ง่ายกว่ามากเนื่องจากคำนำหน้าแรกเป็นศูนย์และคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

คำตอบ

8 ThomasAndrews Sep 23 2020 at 11:21

คำตอบคือตัวเลขสามหลักหรือมากกว่านั้นจะต้องลงท้ายด้วย $0.$

ถ้า $n\geq 10$ แล้วสำหรับ $10n+d$ หารด้วย $n,$ คุณต้องมี $d$ หารด้วย $n.$ แต่ถ้า $d$ เป็นตัวเลขแล้ว $0\leq d<10\leq n,$ ดังนั้นสิ่งเดียวที่เป็นไปได้ $d$ คือ $0.$

อาร์กิวเมนต์นี้ทำงานในฐานใดก็ได้

ตามที่รอสกล่าวไว้ในความคิดเห็นหากมีจำนวน $2k+1,$ หรือมากกว่านั้นจะต้องลงท้ายด้วย $k$ ศูนย์

สิ่งนี้สามารถเห็นได้จากการโต้แย้งที่คล้ายกันหรือใช้ฐาน $10^k,$ สังเกตว่าตัวเลขใด ๆ ที่ตรงตามคุณสมบัติสำหรับฐาน $10$ ยังเป็นตัวเลขสำหรับฐาน $10^k,$ และตัวเลขด้วย $2k+1$ หรือมากกว่าหลักในฐาน $10$ คือ $3$ หรือมากกว่าหลักในฐาน $10^k.$

ไม่เกี่ยวข้องกับคำถาม แต่ได้รับตัวเลขดังกล่าวไม่เพียง แต่เราสามารถเพิ่มเลขศูนย์ต่อท้ายได้เท่านั้นเรายังสามารถเพิ่มเลขศูนย์ก่อนเลขท้ายที่ไม่ใช่เลขศูนย์ นั่นคือถ้า$$n=d_1d_2d_3\dots d_k\underbrace{0\dots0}_{p\text{ times}}$$ จากนั้นเราจะพบจำนวนที่ไม่ใช่ศูนย์ของ $0$ เพื่อเพิ่มระหว่าง $d_{k-1}$ และ $d_k.$

โดยเฉพาะ $$n_1=d_1\dots d_{k-1}\underbrace{0\dots 0}_{m\text{ times}} d_k$$ แล้ว $$10^{m+1}n-n_1=d_k(10^{m+1}-1)\cdot 10^p$$

ตอนนี้ถ้า $f(N)$ คือจำนวน $N$ ด้วยปัจจัยทั้งหมดของ $2$ และ $5$ คุณสามารถกำหนดได้ $$D=\operatorname{lcm}\left(f(d_1),f(d_1d_2),\cdots,f(d_1d_2\dots d_{k-1})\right)$$

จากนั้นคุณสามารถกำหนด $m$ เป็นหนึ่งในลำดับที่น้อยกว่า $10$ โมดูโล $D.$

ตัวอย่างเช่นด้วย $n=14490000$ คุณมี $$\operatorname{lcm}\left(f(1),f(14),f(144)\right)=\operatorname{lcm}(1,7,9)=63.$$

ลำดับของ $10$ mod $9$ คือ $1,$ ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้องการคำสั่งของ $10$ mod $7,$ และนั่นคือ $6$และ $m$ คือ $5.$ จากนั้น: