Lp space อสมการกับ L Infinity

Question

ตอนนี้ฉันกำลังศึกษาอยู่ $L^p$ ช่องว่างและกำลังพยายามพิสูจน์ความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้ซึ่งดูเหมือนจะไม่สามารถแก้ไขได้:

ปล่อย $1 \leq p < r < \infty$. แล้วถ้า$$f \in L^p(\mathbb{R}) \cap L^\infty(\mathbb{R}), \,\,\|f\|_r \leq (\|f\|_p)^\frac{p}{r}(\|f\|_\infty)^{1 - \frac{p}{r}}.$$

ฉันได้ลองพิสูจน์สิ่งนี้ผ่านความไม่เท่าเทียมกันทั่วไปของHölder แต่ก็ไม่มีประโยชน์และฉันก็ลองขยายทุกอย่างออกไปตรงๆ ตั้งแต่$p < r < \infty$ และ $f \in L^p(\mathbb{R}) \cap L^\infty(\mathbb{R})$เรามีสิ่งนั้น $f \in L^r(\mathbb{R})$ เช่นกัน. $$\|f\|_r = \left(\int_\mathbb{R}|f(x)|^r \, dx \right)^\frac{1}{r}, \,\, (\|f\|_p)^\frac{p}{r} = \left(\int_\mathbb{R} |f(x)|^p \, dx\right)^{\frac{1}{p} \cdot \frac{p}{r}} = \left( \int_\mathbb{R} |f(x)|^r \, dx\right)^\frac{1}{p}$$ ตอนนี้หมายความว่า $\|f\|_r \leq (\|f\|_p)^\frac{p}{r}$ดังนั้นสิ่งที่ฉันต้องทำคือแสดงสิ่งนั้น $(\|f\|_\infty)^{1 - \frac{p}{r}} \geq 1$แล้วสิ่งนี้จะได้รับการพิสูจน์ แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะไปที่นี่ได้ที่ไหน ฉันลองใช้คำจำกัดความที่ไม่สมบูรณ์ของ$L^\infty$ ไม่ประสบความสำเร็จและฉันก็ลองใช้ความจริงที่ว่าในกรณีนี้เราสามารถเขียนได้ $\|f\|_\infty = \lim_{n \to \infty} \|f\|_n$อีกครั้งที่ไม่ประสบความสำเร็จ

ฉันเข้ามาผิดทางหรือฉันทำผิด? คำแนะนำการแก้ไขหรือคำแนะนำใด ๆ จะได้รับการชื่นชม! ขอบคุณ!

Answer 1

สิ่งนี้ง่ายกว่ามาก $\int |f|^{r} =\int |f|^{p} |f|^{r-p} \leq \|f\|_{\infty}^{r-p} \int |f|^{p}$ เพียงแค่เพิ่มพลังทั้งสองด้าน $\frac 1 r$ เสร็จสิ้น