MacLaurin ซีรี่ส์ของ $\tan(x)$

Question

ฉันกำลังพยายามคำนวณชุด MacLaurin ของ $\tan(x)$. ฉันรู้ว่านี่คือ$$\tan x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}$$และฉันรู้วิธีได้มาซึ่งสูตรนี้ อันที่จริงฉันแค่แสดงออก$\tan$ เป็นการรวมเชิงเส้นของ $\cot(x)$ และ $\cot(2x)$ซึ่งเรารู้สูตรที่ชัดเจน $$\cot(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}$$ สูตรนี้ได้มาจากการเขียน $\cot$ ในรูปแบบเลขชี้กำลังและทำพีชคณิต

ฉันรู้วิธีหาสูตรเหล่านี้ แต่ฉันไม่เข้าใจว่าอะไรทำให้เป็นชุด MacLaurin $\tan(x)$. ทำไมพวกเขาถึงไม่เป็นซีรีย์ Taylor ที่มีศูนย์กลางอยู่ที่อื่น และสิ่งที่ทำให้พวกเขากลายเป็นซีรีส์เทย์เลอร์ฉันมองว่ามันเป็นซีรีส์พลัง ...

ขอบคุณสำหรับคำตอบและความช่วยเหลือ!

Answer 1

เพราะถ้าเรามีฟังก์ชัน $f\colon(a-r,a+r)\longrightarrow\Bbb R$ และชุดพลังงาน$$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n\tag1$$โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ $a$ ดังนั้น$$\bigl(\forall x\in(a-r,a+r)\bigr):f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-a)^n,$$จากนั้นโดยอัตโนมัติ $f$ คือ $C^\infty$ ฟังก์ชันและชุดเทย์เลอร์มีศูนย์กลางอยู่ที่ $a$ คือ $(1)$.

ตัวอย่างเช่น$$|x|<1\implies\frac1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$$ดังนั้นชุดเทย์เลอร์ของ $\frac1{1-x}$ โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่ $0$ คือ $\sum_{n=0}^\infty x^n$.