$\mathbb N$ เป็นสนาม
เราพบว่ามีอคติ $\phi$ ระหว่าง $\mathbb N$ และ $\mathbb Q$. ดังนั้นการกำหนดการบวกและการคูณบน$\mathbb N$ (ดังนั้น $\phi$ กลายเป็น homomorphism) $\mathbb N$ ลงในสนาม
มีข้อผิดพลาดในการให้เหตุผลของฉันหรือไม่?
คำตอบ
เขตข้อมูลไม่ได้เป็นเพียงชุดแต่เป็นชุดพร้อมกับโครงสร้างเพิ่มเติมบางอย่าง (การดำเนินการสองฟิลด์) ดังนั้นจึงไม่เป็นความจริงอย่างนั้น$\mathbb{Q}$ เป็นสนาม - ค่อนข้าง $(\mathbb{Q};+,\times)$ เป็นสนาม
bijections ทำให้เรา "โครงสร้างการขนส่ง:" if $\oplus,\otimes$ เป็นการดำเนินการแบบไบนารีในบางชุด $A$ ดังนั้น $(A;\oplus,\otimes)$ เป็นสนามและ $f:A\rightarrow B$เป็นอคติที่เราสามารถให้ได้$B$โครงสร้างของสนามในลักษณะที่เป็นธรรมชาติ: พิจารณาการดำเนินการ$\hat{\oplus}$ และ $\hat{\otimes}$ ให้โดย $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ สำหรับ $x,y\in B$. แต่ชุด $B$ตัวมันเองไม่ใช่ทุ่งนา แต่โครงสร้าง $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ เป็นสนาม
โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อเรายกของตามปกติ $+$ และ $\times$ ตามอคติที่คุณชื่นชอบ $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$เราได้รับการดำเนินการ $\hat{+}$ และ $\hat{\times}$ ดังนั้น $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$เป็นฟิลด์ แต่การดำเนินการเหล่านี้จะดูแปลกมากโดยเฉพาะอย่างยิ่งการดำเนินการเหล่านี้จะแตกต่างจากการบวกและการคูณจำนวนธรรมชาติตามปกติที่เราคุ้นเคยโดยสิ้นเชิง ดังนั้นจึงไม่มีความตึงเครียดระหว่างผลลัพธ์นี้กับความจริงที่ว่า$(\mathbb{N};+,\times)$เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่สนาม
ไม่มีพลาดครับ ในความเป็นจริงเซตอนันต์ใด ๆ สามารถเปลี่ยนเป็นสนามได้ โปรดสังเกตว่าการดำเนินการที่คุณกำหนดไว้$\mathbb N$ วิธีนี้จำเป็นต้องแตกต่างจากการบวกและการคูณจำนวนธรรมชาติตามปกติ (เนื่องจากการดำเนินการตามปกติจำนวนธรรมชาติไม่ใช่ฟิลด์)
การใช้การแมปเส้นทแยงมุมตามปกติ แต่สลับระหว่างค่าบวกและค่าลบและข้ามการแทนค่าที่ซ้ำกันของ "เศษส่วนไม่อยู่ในเงื่อนไขต่ำสุด" เราสามารถมีการคาดคะเน bijection ซึ่งคำศัพท์หลายคำแรก ได้แก่ :
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
ตอนนี้เป็นทุ่งนา เอกลักษณ์ของสารเติมแต่งคือ$1$ และ $1 + k = k+1 = k$ เพื่อทุกสิ่ง $k \in \mathbb N$.
ทุกคุณค่า $k$ มีสารเติมแต่งผกผัน $-k$ ดังนั้น $k+(-k)= 1$. Forexample ส่วนเติมแต่งผกผันของ$4$ คือ $-4 =5$ และ $4+5 = 1$. ในทำนองเดียวกัน$-11 = 10$ และ $11 + 10 = 1$.
เอกลักษณ์ที่ทวีคูณคือ $2$ และ $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ เพื่อทุกสิ่ง $k \in \mathbb N$.
และสำหรับทุกคุณค่า $k$ ยกเว้น $1$จะมีค่าผกผันแบบทวีคูณ $\frac 1k$ ที่ไหน $k\cdot \frac 1k = 2$. ตัวอย่างเช่น$\frac 14 = 6$ และ $4\cdot 6 = 2$.
และอื่น ๆ
ทั้งหมดนี้สมเหตุสมผลเพราะสิ่งที่ฉันทำคือแทนที่ตัวเลขที่มีเหตุผล "ปกติ" ด้วยสิ่งที่แมปลงไป ถ้าฉันจดบันทึก$k \color{blue}{\mapsto m}$ เพื่อแสดงถึงสิ่งที่ฉัน "หมายถึง" จริงๆแล้วตัดและวางสิ่งที่ฉันเขียนไว้ด้านบนมันจะเป็น:
...........
ตอนนี้เป็นทุ่งนา เอกลักษณ์ของสารเติมแต่งคือ$1\color{blue}{\mapsto 0}$ และ $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ เพื่อทุกสิ่ง $k \in \mathbb N$.
ทุกคุณค่า $k$ มีสารเติมแต่งผกผัน $-k$ ดังนั้น $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Forexample ส่วนเติมแต่งผกผันของ$4\color{blue}{\mapsto 2}$ คือ $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ และ $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. ในทำนองเดียวกัน$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ และ $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
เอกลักษณ์ที่ทวีคูณคือ $2\color{blue}{\mapsto 1}$ และ $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ เพื่อทุกสิ่ง $k \in \mathbb N$.
และสำหรับทุกคุณค่า $k$ ยกเว้น $1\color{blue}{\mapsto 0}$จะมีค่าผกผันแบบทวีคูณ $\frac 1k$ ที่ไหน $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. ตัวอย่างเช่น$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ และ $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
และอื่น ๆ