Maximal Abelian von Neumann พีชคณิต

Question

ปล่อย $H$ เป็นพื้นที่ของฮิลแบร์ตของฟังก์ชันที่มีมูลค่าซับซ้อน $\mathbb{R}$ ที่เป็นตารางบูรณาการ wrt วัด Lebesgue

พีชคณิตสูงสุดฟอนนอยมันน์ที่เป็นรูปธรรมของ $\mathcal{B}(\mathcal{H})$เหรอ?

Answer 1

มี Masas มากมายใน $B(H)$. พวกเขาสามารถแบ่งออกเป็นเด็กสองคนไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่อง

ตัวอย่าง Canonical ของ masa แบบต่อเนื่องในการตั้งค่าของคุณจะเป็น $L^\infty(\mathbb R)$เห็นเป็นตัวดำเนินการคูณ

ตัวอย่างที่ยอมรับได้ของ masa แบบไม่ต่อเนื่องคือ masa ในแนวทแยง : คุณแก้ไขพื้นฐาน orthonormal$\{e_n\}$และพิจารณาการคาดการณ์มุมฉากที่สอดคล้องกัน $\{E_n\}$. แล้ว$$ A=\{\sum_ka_kE_k:\ a\in\ell^\infty(\mathbb N)\} $$ จะเป็น masa แนวทแยงที่สอดคล้องกับพื้นฐาน orthonormal $\{e_n\}$. ไม่ใช่ว่าคุณจะได้อะไร แต่ถ้าคุณต้องการทำให้มันเป็นรูปธรรมคุณสามารถทำได้$\{e_n\}$จะเป็นHermite พหุนาม หรือคุณสามารถใช้ดัชนีคู่และกำหนด$$ e_{n,m}=e^{2\pi in(x-m)}\,1_{[m,m+1)},\qquad n,m\in\mathbb Z. $$ ซึ่งจะทำให้ $$ (E_{n,m}f)(x)=\langle f,e_{n,m}\rangle\,e_{n,m}=\bigg(\int_m^{m+1}f(t)\,e^{-2\pi i (t-n)}\,dt\bigg)\,e^{2\pi in(x-m)}\,1_{[m,m+1)}. $$ ในกรณีนี้ $A$ จะประกอบด้วยตัวดำเนินการ $$ (T_af)(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}a_{n,m}\,\bigg(\int_m^{m+1}f(t)\,e^{-2\pi i (t-n)}\,dt\bigg)\,e^{2\pi in(x-m)},\qquad x\in[m,m+1), $$ ที่ไหน $a\in\ell^\infty(\mathbb Z^2)$.