มีฐานข้อมูลเกี่ยวกับค่าเฉพาะของ $j$- ตัวแปร?
มีฐานข้อมูลที่มีค่าเฉพาะที่ทราบทั้งหมดของ $j$- ตัวแปร?
คำตอบ
คำว่า "รู้จัก" หมายความว่าอย่างไร? สำหรับใด ๆ$\tau\in\mathbb C$ ด้วย $\text{Im}(\tau)>0$หนึ่งสามารถคำนวณ $j(\tau)$เพื่อให้มีความแม่นยำมากที่สุดเท่าที่คอมพิวเตอร์เครื่องหนึ่งอนุญาต แต่น่าจะไม่ใช่สิ่งที่คุณหมายถึง โดยทั่วไปถ้า$\tau$ เป็นพีชคณิตและ $[\mathbb Q(\tau):\mathbb Q]\ge3$แล้ว $j(\tau)$ เหนือกว่า $\mathbb Q$ดังนั้นคุณต้องอธิบายว่าอะไรคือ "การรู้" คุณค่า เมื่อไหร่$\tau$ กำลังสองมากกว่า $\mathbb Q$เส้นโค้งวงรีที่เกี่ยวข้องคือ CM และ $j(\tau)$ สร้างฟิลด์คลาสฮิลเบิร์ตของ $\mathbb Q(\tau)$. ในกรณีนั้นหลักหนึ่งสามารถกำหนดเขตข้อมูลแล้วเขียนได้$j(\tau)$ในแง่ของพื้นฐานสำหรับสาขานั้น นั่นคือสิ่งที่คุณหมายถึง? ถ้าเป็นเช่นนั้นฉันแน่ใจว่ามีตัวอย่างมากมายในช่วงหลายปีที่ผ่านมา แต่ฉันไม่ทราบถึงสถานที่ที่รวบรวมไว้ แม้ว่าจะสันนิษฐานได้ว่ามันถูกสร้างขึ้นสำหรับเขตกำลังสองเชิงจินตภาพทั้งหมดที่มีจำนวนชั้นเรียนขนาดเล็ก มีตัวอย่างการคำนวณสำหรับ$\tau=\frac{1+\sqrt{-15}}{2}$ในหัวข้อขั้นสูงของฉันในหนังสือเลขคณิตของเส้นโค้งรูปไข่ (ตัวอย่าง II.6.2.2) ซึ่งแสดงให้เห็นว่า$$ j\left(\frac{1+\sqrt{-15}}{2}\right) = -52515-85995\frac{1+\sqrt{5}}{2}. $$ (สนาม $\mathbb Q(\sqrt{-15})$ มีคลาสหมายเลข 2 และฟิลด์คลาสฮิลเบิร์ตคือ $\mathbb Q(\sqrt{-15},\sqrt5)$.)
ฐานข้อมูล (จำกัด ) ใด ๆ ที่มีนิพจน์ที่ชัดเจนสำหรับ j-invariants ของเส้นโค้งรูปไข่ที่มี CM สามารถขยายได้โดยการเพิ่ม j-invariants ของเส้นโค้งรูปไข่ไอโซจินัส กำหนดเส้นโค้งรูปไข่$E$ ในรูปแบบ Weierstrass และกลุ่มย่อย จำกัด $F$จากนั้นกระดาษคลาสสิกของ Veluให้สมการที่ชัดเจนสำหรับ$E':=E/F$ และไอโซจีนี $E\rightarrow E'$. ตอนนี้สมมติว่าเรากำลังดำเนินการอยู่$\Bbb{C}$ และเรารู้ว่า $E$ isomorphic ถึง $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ดังนั้นความรู้เกี่ยวกับค่าพิเศษ $j(\tau)$. $j$- ตัวแปรของ $E'$ซึ่งอาจคำนวณอย่างชัดเจนโดยใช้สมการจากนั้นให้ค่าพิเศษอื่น $j(\tau')$ ของโมดูลาร์ $j$- ฟังก์ชั่นที่ไหน $\tau'$ เป็นช่วงเวลาของ $E'$. หรืออีกวิธีหนึ่งอาจเริ่มจากเส้นโค้งเป้าหมายและขึ้นไปเพื่อรับไฟล์$j$- ความแตกต่างของเส้นโค้งรูปไข่ด้านบน ในการทำเช่นนี้ให้สมมติว่าเป็นแบบฟอร์ม Legendre$y^2=x(x-1)(x-\lambda)$ สำหรับเส้นโค้งวงรี CM $\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$ มีให้ ($\lambda$เป็นจำนวนพีชคณิต) กล่าวอีกนัยหนึ่งสมมติว่าเรามี$j(\tau)=256\frac{(\lambda^2-\lambda+1)^3}{(\lambda^2-\lambda)^2}$ในฐานข้อมูลของเรา พิจารณาไอโซจีนี$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}\rightarrow\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}\tau}$. โดยการวิเคราะห์รูปแบบ Legendre ที่เป็นไปได้สำหรับ$\frac{\Bbb{C}}{\Bbb{Z}+\Bbb{Z}(2\tau)}$สามารถแสดงไฟล์ $j$-invariant $j(2\tau)$ เป็นของ $$\left\{16\frac{(u+\frac{1}{u}+14)^3}{(u+\frac{1}{u}-2)^2}\,\Big|\,u\in\left\{\lambda,1-\lambda,1-\frac{1}{\lambda}\right\}\right\}.$$ ดังนั้นจึงมีผู้สมัครสามคนสำหรับ $j(2\tau)$แต่ละตัวอยู่ในรูปของจำนวนพีชคณิตที่ชัดเจน ประมาณ$j(2\tau)$ เป็นตัวเลขผ่านทาง $q$- การขยายหนึ่งสามารถเลือกนิพจน์ที่ถูกต้องสำหรับ $j(2\tau)$ในหมู่พวกเขาและเพิ่มลงในฐานข้อมูล รายละเอียดของแนวทางนี้สำหรับการคำนวณ$j(2\tau)$ ในแง่ของ $j(\tau)$สามารถพบได้ในบทความนี้ มีวิธีการที่คล้ายคลึงกันสำหรับ$j(3\tau)$. เริ่มต้นด้วยตัวอย่างเช่น$j(i)=1728$สำหรับจำนวนเต็มบวกสองจำนวนใด ๆ $m$ และ $n$นิพจน์ที่แน่นอนสำหรับ $j\left(2^m3^ni\right)$สามารถรับได้. ตัวอย่างเช่น$j(2i)=66^3$ และ $j(3i)= 64(387+224\sqrt{3})^3(97−56\sqrt{3})$.