ODE $y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$

Question

ฉันมี ODE ต่อไปนี้:

$$y'+ x\sin (2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$

ฉันติดขัดที่พยายามทำให้มันอยู่ในรูปแบบเชิงเส้น ฉันพยายามแล้ว$\sin (2y) = \sin y \cos y $ แล้วหาร ODE ด้วย $( \cos y ) ^{-1} $. สิ่งนี้ทำให้ฉันไม่มีอะไรเลยฉันจึงลองหารด้วย$( \sin y )^{-2} $แทน. ผมก็ติดเหมือนกัน ฉันคิดว่าฉันต้องเปลี่ยนตัวใหม่ แต่ไม่รู้ว่าอันไหน

ขอบคุณ.

Answer 1

คำแนะนำ

$$y'+x\sin(2y)=xe^{-x^2}\cos^2y\\\implies\sec^2y\ y' + 2x\tan y=xe^{-x^2}\ , \text{\{let $\ tan y = t \ หมายถึง \ วินาที ^ 2 y \ y '= t'$\}}\\\implies t' +2xt =xe^{-x^2}$$

Answer 2

$$y'+ x\sin( 2y) = x e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ คูณด้วย $2x'$ และทดแทน $u=x^2$: $$2+ 2xx'\sin( 2y) = 2xx' e^{-x^2} \cos^2 (y)$$ $$2+ u'\sin( 2y) = -( e^{-u})' \cos^2 (y)$$ $$2(\tan y)'+ 2u'\tan( y) = -( e^{-u})' $$ คูณด้วย $e^u$: $$2(e^u\tan y)' = -e^u( e^{-u})' $$ $$2d(e^u\tan y) = -e^ud( e^{-u}) $$ บูรณาการ $$\boxed {2e^{x^2}\tan y -x^2=C} $$

---

โปรดทราบว่าคุณสามารถเขียน DE ใหม่เป็น: $$(e^{x^2} \tan (y))'=x$$ และบูรณาการ.