พิจารณากลุ่ม $\mathbb{Z}_{20}$

Question

พิจารณากลุ่ม $\mathbb{Z}_{20}$ และปล่อยให้ $H = \langle [4]\rangle $ เป็นกลุ่มย่อยที่สร้างโดย $4$. แสดงรายการองค์ประกอบทั้งหมดของ$\mathbb{Z}_{20}/H$ และแสดงว่าผลหารเป็นวัฏจักร

ฉันคิดว่าฉันขาดความเข้าใจเกี่ยวกับคำศัพท์ที่นี่ ฉันรู้แล้ว$\mathbb{Z}_{20}/H$ แค่แทนค่าโคเซตด้านซ้ายของ $H$, แต่ตั้งแต่ $H = \langle [4]\rangle$ คือกลุ่มย่อยที่สร้างโดย $4$นี่หมายความว่าอย่างไร?

ฉันเข้าใจวิธีแสดงว่าผลหารเป็นวัฏจักรเช่นกันนี่คือความพยายามของฉัน:

ถ้ามีองค์ประกอบ $a \in G$ ดังนั้น $\langle a\rangle = G$เราบอกว่า G เป็นกลุ่มวัฏจักร อย่างไรก็ตามฉันไม่คิดว่าเราต้องการสิ่งนี้ที่นี่ จากส่วนแรกของคำถามนี้ถ้าคำสั่งเป็นลำดับความสำคัญจากนั้นโดยทฤษฎีบทลากรานหรือมากกว่าทฤษฎีบทในหนังสือของฉันเรามีสิ่งนั้น$\mathbb{Z}_{20}/H$ เป็นวงจรและเราทำเสร็จแล้ว

Answer 1

ภาพโฮโมมอร์ฟิกของกลุ่มวัฏจักรใด ๆ เป็นวัฏจักร ดังนั้นคุณจะได้ว่าผลหารเป็นวัฏจักรโดยพิจารณาจากการฉายภาพตามบัญญัติ

องค์ประกอบของผลหารคือคลาสความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบของ $\Bbb Z_{20}$ ที่แตกต่างกันโดยทวีคูณของ $4$.

เนื่องจากมีห้าองค์ประกอบใน $\langle 4\rangle$ผลหารมีลำดับ $4$.

Answer 2

คุณสามารถเข้าใจผลหารได้หลายวิธีรูปทรงเรขาคณิตส่วนใหญ่ (ในกรณีของกลุ่มทั่วไป) จะเป็นการยุบกลุ่มที่เกี่ยวข้องในกราฟเคย์ลีย์ แต่จะกลับไปเป็นด้านพีชคณิตมากกว่าที่นี่ $[4]$ คือสิ่งที่เรียกว่ากลุ่มย่อยปกตินั่นคือโคเซตด้านซ้ายจะเหมือนกับกลุ่มทางขวาของเขาดังนั้น $G/H$เป็นเพียงชุดของcosetsของ$H$. โคเซตของกลุ่มย่อย$H$ คือคลาสเทียบเท่าที่กำหนดโดย $a \sim b \equiv aH = \{ ah | h \in H\} = bH$. เมื่อคุณหารด้วยกลุ่มย่อยนี้คุณจะต้องนำเซตของโคเซตเหล่านั้นทั้งหมดและให้ผลิตภัณฑ์จากธรรมชาติ$gHfH = gfH$เพื่อทำให้เป็นกลุ่ม ตอนนี้คุณต้องการแบ่งกลุ่มของคุณตามวิธีที่กลุ่มย่อยของคุณสามารถ "แปล" หรือย้ายไปรอบ ๆ กลุ่มของคุณได้ ที่นี่คุณต้องการทราบว่าองค์ประกอบของ$\mathbb{Z}_{20}$ ทำงานภายใต้การคูณด้วย $4$. อย่างไรก็ตามสำหรับทุกคน$g \in \mathbb{Z}_{20}$ คุณมีอย่างชัดเจน $(g + 4)H = gH$ ดังนั้นคุณกำลังทำ "modulo 4" อยู่ข้างใน $\mathbb{Z}_{20}$, นั่นคือ $\mathbb{Z}_{20}/H$ คือชุดขององค์ประกอบของ $\mathbb{Z}_{20}$ ที่สร้างกลุ่มย่อยที่แตกต่างกันเมื่อคูณด้วย $[4]$คุณควรมีความคิดที่ดีว่าพวกเขาเป็นอย่างไรด้วยคำพูดที่เป็นแบบอย่าง ตอนนี้เพื่อแสดงให้เห็นว่าเป็นวงจรคุณควรพิสูจน์ว่าเป็น isomorphic อีกครั้งในกลุ่มย่อยของวงจรซึ่งจะง่ายเมื่อคุณอนุมานสิ่งที่$\mathbb{Z}_{20}/H$ คือ.

Answer 3

วิธีหนึ่งคือเพียงแสดงรายการองค์ประกอบและทำตั้งแต่เริ่มต้น:

$\mathbb Z_{20}=\{[0]=(0,20,\cdots),\ [1]=(1,21,\cdots),\cdots, [18]=(18,38,\cdots \ ),\ [19]=(19,39,\cdots \ )\}.$

และ $[4]=(4,24,\cdots).$ ตอนนี้ $\mathbb Z$ คือ Abelian ดังนั้นการดำเนินการของกลุ่มคือการเพิ่มโคเซต

ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา $[4]+[4]+[4]+[4]+[4]=[0]$ ดังนั้น $\langle [4]\rangle$ วงจรของการสั่งซื้อ $5$.