พิสูจน์ $A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$

Question

ฉันพยายามพิสูจน์ว่าสำหรับชุด $A$ และ $B$ เรามี $$A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$$

ฉันดำเนินการดังนี้:

ถ้า $x\in A\setminus(A\setminus B),$ แล้ว $$\begin{align}x\in A \wedge x\notin(A\setminus B) \tag1& \iff x\in A \wedge (x\notin A \vee x\in B)\\ &\iff (x\in A \wedge x\notin A) \vee(x\in A \wedge x\in B)\tag2\\ & \iff x\in A \wedge x \in B\tag3\\ & \iff x\in A\cap B\tag4\end{align}$$

ด้วยประการฉะนี้ $A\setminus(A\setminus B)\subset A\cap B$ และ $A\cap B \subset A\setminus(A\setminus B)$, เรามี

$$A\setminus(A\setminus B) = A \cap B$$

คำถามของฉันคือไฟล์ $(x\in A \wedge x \notin A)$ มีส่วนร่วมในบรรทัด $2$เหรอ? เพื่อให้การพิสูจน์ได้ผลเราต้องคิดว่า$x\in A \wedge x \notin A $ เทียบเท่ากับการพูด $x\in\emptyset$. ถูกต้องหรือไม่

Answer 1

คำให้การ $x\in A\wedge x\notin A$ ย่อมเทียบเท่ากับข้อความที่ว่า $x\in\varnothing$.

แต่นี้หมดจดบนฐานของความจริงที่ว่างบทั้งสองมีความผิดพลาด

ตัวอย่างเช่นยังเทียบเท่ากับคำสั่งที่ $1=2$.

คำให้การ $p\vee q$ เป็นคำสั่งที่แท้จริง iff $p$ เป็นคำสั่งที่แท้จริงหรือ $q$ เป็นคำสั่งที่แท้จริง

ดังนั้นหากเราสังเกตในสถานการณ์นั้น $p$ เป็นเท็จดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า $q$ เป็นความจริง.

Answer 2

ถูกตัอง. ทำได้อย่างไร$x$ ทั้งคู่อยู่ใน $A$ และยังไม่ได้อยู่ใน $A$เหรอ? มันไม่เคยเกิดขึ้นดังนั้นเมื่อเรา "หรือ" เงื่อนไขนั้นกับสิ่งอื่นใดเราสามารถละเว้นเงื่อนไขที่เป็นไปไม่ได้ (ซึ่งเป็นวิธีที่ได้รับบรรทัดที่ 3)

“ ฉันอายุเจ็ดขวบและฉันอายุเก้าขวบ” หรือ“ ฉันเป็นเจ้าของไม้กระถาง” จะเทียบเท่ากับ“ ฉันเป็นเจ้าของไม้กระถาง”