พิสูจน์ได้ว่า $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ iff $f$ เป็นแบบฉีด

Question

ฉันตั้งใจจะแสดงสิ่งนั้น $f\colon X\to Y$ เป็น iff ฉีดสำหรับทุกครอบครัว $(A_{\lambda})_{\lambda\in L}$ ของชุดย่อยของ $X$ เรามี $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

ก่อนอื่นมาพิสูจน์กันก่อนว่าสำหรับ $f\colon X\to Y$และ $A\subset X$, $f$ คือ iff แบบฉีด $A= f^{-1}(f(A))$

หลักฐาน. ($\Rightarrow$). โดยความขัดแย้ง ถ้า$f$ เป็นแบบฉีดแล้วสำหรับใด ๆ $x_1,x_2\in X$ เรามี $x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)$. เลือก$x_1\in A\subseteq X$ และ $x_2 \in X\setminus A$เห็นได้ชัดว่า $f(x_1)\in f(A)$ จ $f(x_2)\in f(X\setminus A)$. จากนั้นทุกๆ$y\in f(A)$, เพราะ $f$ เป็นแบบฉีดตรงกับจุดเฉพาะ $x\in A\subseteq X$ ดังนั้น $f(x)=y$. แล้วสำหรับทุกคน$A\subseteq X$ เราสามารถพูดได้ว่า $f^{-1}(f(A))=A$. หากมีองค์ประกอบ$x_3\in X\setminus A$ ดังนั้น $f(x_3)\in f(A)$แล้ว $f$ จะไม่ฉีดเพราะ $f(x_3)\in f(A)$เนื่องจากตั้งอยู่ใน $f(A)$จะต้องสอดคล้องกับบางส่วน $x_3\in A\subseteq X$. จากนั้นการฉีดของ$f$ หมายความว่าสำหรับทุกคน $A\subseteq X$ เรามี $f^{-1}(f(A))=A$.

($\Leftarrow$). โดยความขัดแย้ง พิจารณา$x_1\in A\subseteq X$ และ $x_2\in X\setminus A$. แล้ว$f(x_1)\in f(A)$ และ $f(x_2)\not\in f(A)$. เรามีสิ่งนั้น$f^{-1}(f(A)) = A$จากนั้นทุกองค์ประกอบใน $f(A)$ สอดคล้องกับองค์ประกอบบางอย่างใน $A\subseteq X$. ลองพิจารณาดู$f$ ไม่ได้ฉีดกล่าวคือกรณีที่ $f(x_1)=f(x_2)\in f(A)$ และ $x_1\neq x_2$. เราจะมีแล้ว$f^{-1}(f(A))\neq A$, เพราะ $x_2\not\in A$. จากนั้น$f$ เป็นแบบฉีด

ตอนนี้เป็นหลักฐานหลัก

หลักฐาน . พิสูจน์โดยตรงว่า$f$ เป็นแบบฉีด $\iff f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$.

\ start {align *} f (x) \ in f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda) & \ iff x \ in f ^ {- 1} (f (\ bigcap _ {\ lambda \ in L } A_ \ lambda)) \\ & \ iff x \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda \ \ text {เพราะ $f$ คือการฉีด} \\ & \ iff x \ ใน A_ \ lambda, \ text {สำหรับทั้งหมด} \ \ lambda \ in L \\ & \ iff f (x) \ in f (A_ \ lambda), \ text {สำหรับทุกคน } \ \ lambda \ in L \\ & \ iff f (x) \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} f (A_ \ lambda) \ end {align *}

ฉันสามารถทำสิ่งนี้ได้หรือไม่?

ฉันไม่สามารถแสดงได้ว่าถ้า $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ แล้ว $f$ เป็นการฉีดโดยไม่ใช้ความจริงที่ว่า $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ ยืนเฉพาะในกรณีที่และต่อเมื่อ $f^{-1}(f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda)) = \bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda$และนี่จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเท่านั้น $f$ เป็นแบบฉีด

Answer 1

การโต้แย้งที่ง่ายกว่านั้นเป็นไปได้ ง่ายที่จะเห็นว่ามันเป็นจริงเสมอ

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$$

สำหรับครอบครัวใด ๆ $\{A_\lambda:\lambda\in\Lambda\}$ ของชุดย่อยของ $X$. สมมติว่า$f$ เป็นแบบฉีดและปล่อยให้ $x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$. จากนั้นสำหรับแต่ละ$\lambda\in\Lambda$ มี $a_\lambda\in A_\lambda$ ดังนั้น $x=f(a_\lambda)$. แก้ไข$\lambda_0\in\Lambda$; ตั้งแต่$f$ เป็นแบบฉีด $a_\lambda=a_{\lambda_0}$ แต่ละ $\lambda\in\Lambda$ดังนั้น $a_{\lambda_0}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$และ $x=f(a_{\lambda_0})\in f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$. ด้วยประการฉะนี้

$$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\subseteq f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$$

และด้วยเหตุนี้

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\,.$$

ตอนนี้สมมติว่า $f$ไม่ได้ฉีด จากนั้นก็มี$x,y\in X$ ดังนั้น $x\ne y$และ $f(x)=f(y)$. ปล่อย$A_0=\{x\}$ และ $A_1=\{y\}$; แล้ว

$$\varnothing=f[\varnothing]=f[A_0\cap A_1]\subsetneqq f[A_0]\cap f[A_1]=\{f(x)\}\,.$$