พิสูจน์คุณสมบัติที่ จำกัด
ฉันต้องการพิสูจน์คุณสมบัติดังต่อไปนี้:
ปล่อย $(a_n),(b_n)$ เป็นลำดับใน $\mathbb{R}$, $a_n\to a $ และ $b_n\to b$
$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $, สมมติ $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $
ในบางจุดสคริปต์ของฉันกล่าวถึงเรื่องนั้น $-(a_n-a)<\epsilon $ และ $b_n - b<\epsilon$
ใครช่วยอธิบายให้ฉันเข้าใจถึงความตั้งใจที่อยู่เบื้องหลังขั้นตอนข้างต้น
ขอบคุณล่วงหน้า.
คำตอบ
คุณต้องการพิสูจน์ว่าหากลำดับแรกมาบรรจบกัน $a$ และอันที่สองถึง $b$มันถือ $a\le b$.
สมมติว่าไม่เป็นเช่นนั้น $a>b$. ดังนั้น$\varepsilon=(a-b)/2>0$ และเราจะพบ $n_1\ge n_0$ เช่นนั้นสำหรับ $n\ge n_1$, $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ นี่แปลว่า $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ คู่แรกของความไม่เท่าเทียมกันเป็นนัย $-(a_n-a)<\varepsilon$. คุณยังสามารถแยก$b_n-b<\varepsilon$ และได้รับความขัดแย้ง
ในทางกลับกันฉันเพียงแค่เขียน (*) ใหม่เป็น $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ และสังเกตว่า $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$จึงกลายเป็น $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ และความไม่เท่าเทียมกันกลางทำให้เกิดความขัดแย้ง