ผอมได้ทุกขนาด?
จำจากŧคำถามนี้ที่เราเรียกว่าจำนวนเต็มบวกslimdownableหรือslimสั้น ๆ ถ้าเป็นส่วนหนึ่งของลำดับของจำนวนเต็มโดยแต่ละตัวจะตามด้วยตัวมันเองหารด้วยความยาวนั่นคือจำนวนหลัก โดยเฉพาะอย่างยิ่งแต่ละชิ้นจะต้องหารด้วยความยาวและลำดับจะลดลงจนกว่าจะถึงตัวเลขหลักเดียว
ตัวอย่าง:
108: บางเพราะ $108\overset{/3}{\rightarrow}36\overset{/2}{\rightarrow}18\overset{/2}{\rightarrow}9\overset{/1}{\circlearrowleft}$
78: ไม่ผอมเพราะ $78\overset{/2}{\rightarrow}39\overset{/2}{\rightarrow}\Vert$
พิสูจน์หรือหักล้างว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกใด ๆ $n$ มีจำนวนน้อยด้วย $n$ ตัวเลข
หมายเหตุ: คุณสามารถใช้คอมพิวเตอร์เพื่อสร้างตัวอย่างตอบโต้หรือตัวอย่างเช่นเพื่อเสริมผลลัพธ์ที่ไม่แสดงอาการหรือสิ่งอื่นใดที่คุณเห็นว่าเหมาะสม หากคุณเลือกที่จะทำเช่นนั้นเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของรหัสของคุณโปรดตอบคำถามทดสอบต่อไปนี้:
มีวิธีแก้ไขด้วย $11111$หลัก? ถ้าใช่: มีกี่คน? 10 หลักแรกของค่ามัธยฐานของพวกเขาคืออะไร?
แต่ละ$n$ ระหว่าง $1$ และ $11111$ คำนวณจำนวน od โซลูชั่นด้วย $n$ตัวเลข จำนวนที่มากที่สุดคืออะไร?
นี่คือกรณีทดสอบที่คุณสามารถใช้เป็นการตรวจสอบรหัสของคุณได้อย่างรวดเร็ว:
ที่ 3590 หลักมีสี่คำตอบ พวกเขาทั้งหมดผอมลงไป$6$. หลักสิบหลักแรกของตัวเลขเหล่านี้คือ '3159252337 ... ', '3735860235 ... ', '4606981484 ... ', '6706597705 ... '
คำตอบ
สรุป:
สำหรับใด ๆ $n$- เลขหลักไม่มีจำนวนเต็มสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด $n$.
เหตุผล:
เพื่อทุกสิ่ง $n$ต้องมีหลาย ๆ $n$ นั่นคือ $n$- ตัวเลขยาว
เรียกเราว่า $n$- หมายเลขหลัก $Z$.
คำนึงถึงสิ่งนั้นใน$10^{ceil(log(n))}$ - ขอเรียกสิ่งนี้ $a$จะต้องมี $a/n$ ทวีคูณของ $n$. นี่เป็นวิธีการลดความอ้วนของเรา
ลองย้อนกลับไปดู$Z$. ตาม 2 ขั้นตอนก่อนหน้านี้หากเราเลือกถูกต้อง$Z$จะมีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัว $y$ ความยาว $(n-a)$ หรือ $(n-a+1)$ ที่ไหน $y = Z/n$ และสามารถแสดงด้วยไฟล์ $Z$ เพื่อทำซ้ำขั้นตอน
ตอนนี้ฉันเป็นเจ้าของสเปรดชีต Excel อย่างภาคภูมิใจที่สร้างค่าใหม่โดยเริ่มจาก 5-9 (เนื่องจาก 1-4 ไม่สามารถสร้างตัวเลข 2 หลักได้) และสิ้นสุดโดยที่ Excel พบข้อผิดพลาด #Value
ภาพด้านล่างเรียงลำดับจากมากไปหาน้อย (9 ถึง 5)
สิ่งที่กินไปฉันมีขนาดใหญ่ $n$.
สำหรับ $n$ = 1 พันล้านฉันไม่สามารถรับประกันได้ว่าจะมีจำนวนน้อยสำหรับ $n$ระหว่าง 1 พันล้าน - 1 และ 1 พันล้าน - 9 โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อฉันมีเส้นทางเริ่มต้นเพียง 5 เส้นทาง
และเนื่องจากช่องว่างจะกว้างขึ้นเรื่อย ๆ$n\rightarrow\infty$จำนวนเต็มบวกทั้งหมดไม่สามารถมีได้$n$.
เช่นสำหรับ$n$ = $1E1,000,000$การหารของฉันจะทำให้จำนวนแรกลดลง 6 ตำแหน่งและฉันอาจเติมช่องว่างได้ด้วยพา ธ ดีเทอร์มินิสต์เพียง 5 ตัว แต่ในที่สุดมันจะไม่ถูกเติมเต็ม