$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ และการคูณด้วย $2$

Aug 16 2020

ฉันต้องการคำนวณกลุ่มพื้นฐานของระนาบโปรเจ็กต์จริง $\text{P}^2(\mathbb{R})$ โดยใช้ทฤษฎีบท SVK

ด้วยเหตุนี้ฉันจึงเลือกที่จะสร้างแบบจำลอง $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ เป็นดิสก์ยูนิต $\{x:\|x\|\leq 1\}$ ใน $\mathbb{R}^2$ หารด้วยการระบุจุดต่อต้านกระดูกที่อยู่บนขอบเขต

ฉันใช้เวลา

  • $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
  • $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$, ที่ไหน $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
  • $A\cap B$

ซึ่งเชื่อมต่อกับเส้นทางทั้งหมด

ตอนนี้แก้ไขจุด $x_0 \in A\cap B.$

$A$ สามารถแก้ไขได้โดยการเปลี่ยนรูปเป็น $S^1$, ดังนั้น $A \approx S^1$ และ $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ การถอนกลับ $r_A:A \to S^1$ ทำให้เกิด isomorphism $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ ซึ่งมอบให้โดย $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ สำหรับทุกวง $\lambda$ ใน $A.$

ถ้าฉันโทร $c$ ลูปที่สอดคล้องกับ $1 \in \mathbb{Z}$ ภายใต้ isomorphism ฉันมีความเท่าเทียมกัน $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; การเปลี่ยนรูปให้เส้นทาง$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ จาก $x_0$ ถึง $r(x_0),$ ยังนำเสนอ $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $ซึ่งตอนนี้เราสามารถเห็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเป็นลูปที่มีจุดสิ้นสุด $x_0$ แทน $r(x_0).$

ในทางกลับกัน, $B$ สามารถทำสัญญาได้ $\{x_0\},$ ดังนั้น $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$

สุดท้ายเลือกวงกลมอื่น $S^1_{x_0}$ ผ่าน $x_0$, ฉันถอย $A \cap B$ เพื่อให้เป็นเช่นนั้น $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$

การรวม $A \cap B \subset B$ ก่อให้เกิด morphism $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ ซึ่งสามารถเป็นเพียงแผนที่เล็กน้อยที่ส่งทุกอย่างไปยังเส้นทางคงที่ที่ $x_0.$

ถัดไปการรวม $A \cap B \subset A$ ก่อให้เกิด morphism ของกลุ่ม $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ ให้โดย $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ สำหรับทุกวง $\ell$ ใน $A \cap B$ ด้วยจุดสิ้นสุด $x_0.$

ฉันต้องการที่จะเข้าใจวิธีการพิสูจน์ว่าแผนที่ $a_*$ ตามที่กำหนดไว้ข้างต้นจะต้องเป็นการคูณด้วยสอง $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$

คำตอบ

2 ggeolier Aug 16 2020 at 21:04

มอร์ฟีน $a_*$ วนซ้ำ $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ และส่งไปยังลูปที่เกี่ยวข้อง $\pi_1(A,x_0),$ ซึ่งเนื่องจากแผนที่เกิดจากการรวมจึงเป็นเพียง $[\ell]_A$, (เช่น $\ell$ modulo homotopy ใน $A$).

ตอนนี้เราเห็น $[\ell]_A$ ข้างใน $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ ผ่าน isomorphism $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$และเรามี $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ เนื่องจากมีการระบุจุดต่อต้านรูปแบบขอบเขตดังนั้นเราจึงไปสองรอบวงกลมภายนอกเป็น $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ (ที่นี่คลาสความเท่าเทียมกันคือคะแนนใน $S^1$).

ดึงกลับไปที่ $\pi_1(A,x_0)$ เราได้รับ $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ และเราสรุป

1 MaximeRamzi Aug 16 2020 at 20:48

ปล่อย $i:S^1\to D^2$ เป็นการรวมขอบเขตและ $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ การฉายภาพตามบัญญัติ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ ปัจจัยผ่าน $\partial$ (และผ่าน $A$แต่การรวม $\partial \to A$เป็นความเท่าเทียมกันของ homotopy); โทร$\alpha :S^1\to\partial$ แผนที่ที่เราได้รับ

เรารู้ว่า $\partial \cong S^1$ดังนั้นแผนที่คืออะไร $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ เหรอ?

คุณมีแผนภาพการสับเปลี่ยนต่อไปนี้:

$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$

ที่แผนที่ $\partial \to P^2(\mathbb R)$คือการรวม หากเราระบุ$\partial \cong S^1$, แผนที่ $S^1\to S^1$ เป็นเพียง $z\mapsto z^2$: นั่นเป็นการคำนวณที่ชัดเจนที่คุณสามารถทำได้ บางทีอาจจะง่ายกว่าที่จะกำหนดจริง$\partial$ ด้วยวิธีนั้นและตรวจสอบว่าคุณได้รับสิ่งเดียวกัน

ฉันคิดว่านั่นอาจเป็นประเด็นหลักที่ไม่ชัดเจนสำหรับคุณดังนั้นหากยังไม่ชัดเจนอย่าลังเลที่จะบอกฉัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, $\alpha_*=$ การคูณด้วย $2$.

แต่ยัง $i$ เป็นอารมณ์ร่วมกับการรวม $S^1$ ที่วงกลมเล็ก ๆ ใน $D^2$, และดังนั้นจึง $p\circ i$ เป็นโฮโมโทปิกเป็น homeomorphism $S^1\to S^1_{x_0}$.

ดังนั้นคุณจึงมีแผนภาพการสับเปลี่ยน homotopy ต่อไปนี้:

$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$

การ $\pi_1$, ตั้งแต่ $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ คือ isomorphism และ $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ คือการคูณด้วย $2$ในที่สุดเราก็ได้สิ่งนั้นมา $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ คือการคูณด้วย $2$.

(ในทางเทคนิคคุณอาจต้องกังวลเกี่ยวกับจุดฐาน: มีอย่างน้อยสองวิธีในการจัดการกับสิ่งนี้ที่นี่: 1- โปรดทราบว่ากลุ่มพื้นฐานทั้งหมดที่เกี่ยวข้องนั้นเป็นแบบ abelian ดังนั้นจึงไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลยหรือ 2- ทำเหตุผลเดียวกัน แต่มี groupoids พื้นฐานและในตอนท้ายแก้ไขสิ่งต่างๆ)

PedroTamaroff Aug 16 2020 at 18:03

แนวคิดพื้นฐานมีดังนี้ฉันคิดว่าฉันจะดำเนินการพิสูจน์ที่คล้ายกับของคุณดังนั้นอดทนกับฉัน

เช่นเดียวกับที่คุณทำให้พิจารณาระนาบโปรเจ็กต์ $X$ และใช้จุด $x_0$ในนั้น. แล้ว$U = X\smallsetminus x_0$ การเปลี่ยนรูปจะหดกลับเข้าไปในทรงกลม

ใช้ลูกบอลขนาดเล็ก $V$ รอบ ๆ $x_0$, ดังนั้น $V\cap U$ การเปลี่ยนรูปยังหดกลับเป็นทรงกลม

ตอนนี้สำหรับ $V\cap U$คุณจะไม่ได้ระบุจุดขอบเขตใด ๆ แต่ใน $U$ที่ขอบเขตขอบเขตคุณจะระบุได้ สิ่งนี้มีผลต่อไปนี้ที่คุณสามารถสร้างแผนภาพสับเปลี่ยนได้

$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$

โดยที่แผนที่แนวตั้งมีองศา $2$. โดยพื้นฐานแล้วมันจะส่งการสร้างลูปเข้ามา$U\cap V$ที่ลมหนึ่งครั้งรอบขอบเขตถึงหนึ่งซึ่งจะลมสองครั้งรอบขอบเขตของ$U$เนื่องจากในนั้นคุณจะต้องระบุจุดต่อต้าน

เพิ่ม. หากคุณต้องการให้แม่นยำยิ่งขึ้นโปรดทราบว่าการสร้างลูปสำหรับ$U$ สามารถนำมาเป็นลูปในดิสก์ยูนิตที่ดึงพระจันทร์ครึ่งเสี้ยวออกไป $-1$ ถึง $1$ ในเส้นตรงเกือบขาดจุดกำเนิดและผ่านส่วนโค้งทำให้ง่ายต่อการดูว่ากำลังสร้างลูปสำหรับ $U\cap V$ จะแสดงเป็นสองเท่าของลูปก่อนหน้านี้ $U$.