Picard-surjectivity และ Morita-equivalence

Question

ให้เราบอกว่าพีชคณิต $A$ เหนือสนาม $k$ Picard จะคาดเดาได้หากเป็นแผนที่บัญญัติ $$ \mathrm{Aut}(A) \rightarrow \mathrm{Pic}(A)$$เป็นเรื่องที่คาดเดาได้ ที่นี่$\mathrm{Pic}(A)$ หมายถึงกลุ่มของคลาส isomorphism ของ invertible $A$-$A$-bimodules และแผนที่จะส่งระบบอัตโนมัติ $\alpha$ ไปที่ $A$-$A$- โมดูล $A_\alpha$โดยที่การกระทำทางซ้ายเป็นสิ่งปกติและการกระทำที่ถูกต้องจะเกิดขึ้น $\alpha$.

ถาม:สำหรับมิติที่ จำกัด ใด ๆ ที่กำหนด$k$-พีชคณิต $A$มีโมริตะที่เทียบเท่ากับ Picard หรือไม่?

ถ้าไม่ฉันสนใจในเงื่อนไขที่เป็นจริง ฉันสนใจคดีนี้เป็นหลัก$k=\mathbb{R}$ หรือ $\mathbb{C}$และสำหรับตัวอย่างทั้งหมดที่ฉันคิดมาจนถึงตอนนี้ดูเหมือนว่าจะถูกต้องเท่าที่ฉันสามารถบอกได้

Answer 1

ใช่พีชคณิตพื้นฐานของ $A$ จะเป็น Picard ที่คาดเดาได้

พีชคณิตพื้นฐานคือพีชคณิตเอนโดมอร์ฟิซึม $\operatorname{End}_A(\bigoplus_{i=1}^{n}P_i)$ของผลรวมโดยตรงของโมดูลฉายภาพที่ไม่สามารถย่อยสลายได้ (ขวา) หนึ่งโมดูลจากแต่ละคลาสไอโซมอร์ฟิซึม เทียบเท่ากับโมริตะ$A$.

สมมติ $A$เป็นพื้นฐาน จากนั้นเป็นโมดูลซ้ายหรือขวา$A$คือผลรวมโดยตรงของโมดูลฉายภาพที่ไม่สามารถย่อยสลายได้หนึ่งโมดูลจากแต่ละคลาสไอโซมอร์ฟิซึม สมมติ$M$เป็น bimodule แบบกลับด้าน ตั้งแต่$S\otimes_AM$ ไม่ใช่ศูนย์สำหรับทุกโมดูลง่ายๆ $S$การสลายตัวผลรวมโดยตรงของ $M$เนื่องจากโมดูลด้านซ้ายจะต้องมีสำเนาของการฉายภาพที่ไม่สามารถย่อยสลายได้ ปล่อย$X=\bigoplus_{i=1}^nS_i$ เป็นผลรวมโดยตรงของง่าย (ขวา) $A$- โมดูลหนึ่งตัวจากแต่ละคลาส isomorphism ตั้งแต่$X\otimes_AM\cong X\cong X\otimes_AA$เป็นโมดูลด้านซ้าย $M$จะต้องมีตรงหนึ่งสำเนาของแต่ละ projective indecomposable ในการสลายตัวตรงยอด ดังนั้น$M\cong A$เป็นโมดูลด้านซ้าย ทางขวา$A$- โครงสร้างโมดูลของ $M$ จากนั้นจะได้รับจาก homomorphism พีชคณิตแบบฉีด $A^{op}\to\operatorname{End}_A(_AA)\cong A^{op}$ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมโดย จำกัด มิติ: กล่าวคือการกระทำที่ถูกต้องเกิดจากออโตเมติกของ $A$.