ปมเหตุผลที่ไม่เชือด

Question

มีปมอยู่หรือไม่ $K\subset \mathbb{S}^3$ ดังนั้น

1. $K$ไม่เป็นชิ้น
2. $\exists W^4$, $\partial W = \mathbb{S}^3$ ลูกบอล homology ที่มีเหตุผล
3. $\exists $ ฝังเรียบดิสก์อย่างถูกต้อง $(D,\partial D)\to (W,K)$. เหรอ?

กล่าวอีกนัยหนึ่ง $K$ ไม่ได้เป็นชิ้นเล็กชิ้นน้อย $B^4$ แต่เป็นชิ้นส่วนในลูกบอล homology ที่มีเหตุผล

Answer 1

ใช่. ปมรูปที่แปดเป็นตัวอย่าง: มันล้อมรอบดิสก์สไลซ์เรียบในลูกบอล homology ที่มีเหตุผล สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในหลาย ๆ วิธีย้อนกลับไปในช่วงทศวรรษที่ 1980 ข้อมูลอ้างอิงที่เกี่ยวข้องมีดังนี้

ฟินตูเชล, โรนัลด์; สเติร์น, โรนัลด์เจ , A (\ mu) - มีลักษณะคล้ายกัน 3 ทรงกลมที่ล้อมรอบลูกบอลที่มีเหตุผลแบบตะวันออก, ทฤษฎีสี่ท่อหลายแบบ, Proc. AMS-IMS-SIAM Joint Summer Res. Conf., Durham / NH 1982, Contemp. คณิตศาสตร์. 35, 265-268 (2527) ZBL0566.57006

ช่า, แจ้ชุ้น , โครงสร้างของกลุ่มปมที่สอดคล้องกันอย่างมีเหตุผล , Mem. น. คณิตศาสตร์. Soc. 885, 95 น. (2550). ZBL1130.57034

อัคบูลุท, เซลแมน; Larson, Kyle , Brieskorn ทรงกลมล้อมรอบลูกบอลที่มีเหตุผล , Proc น. คณิตศาสตร์. Soc. 146, ฉบับที่ 4, 1817-1824 (2561). ZBL1422.57081

อย่างไรก็ตามยังไม่ทราบว่ามีปมอยู่ในลูกบอล homology จำนวนเต็มหรือไม่ แต่ไม่ได้อยู่ใน $B^4$.

Answer 2

ตัดปมอย่างมีเหตุผลใน $S^3$ มีมากมายเนื่องจากการรวบรวมทฤษฎีบทของ Kawauchi และผลล่าสุดของ Kim และ Wu:

ทฤษฎีบท ([1] + [2]):ปมแอมฟิเชียลไฮเปอร์โบลิกใด ๆ$K$ ใน $S^3$ เป็นชิ้น ๆ อย่างมีเหตุผล

ทฤษฎีบท ([3]):ปมแอมฟิเชียลที่เป็นเส้นใยและเป็นลบ$K$ ใน $S^3$ด้วยพหุนาม Alexander ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ (เรียกว่ามิยาซากิปม ) ถูกหั่นอย่างมีเหตุผล

เมื่อใช้ทฤษฎีบทเหล่านี้คุณอาจพบนอตสไลซ์ที่มีเหตุผลจำนวนมากที่ไม่เรียบ

[1]:คาวาอุจิอากิโอะ "ปัญหาการพลิกกลับของนอตที่ยอดเยี่ยมของ amphicheiral" Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences 55.10 (1979): 399-402.

[2]:คาวาอุจิ, อากิโอะ. "ปมที่มีเหตุผลโดยใช้นอตเชิงลบที่รุนแรง" Commun. คณิตศาสตร์. Res. 25.2 (2552): 177-192.

[3]:คิมมินฮุนและจงเทาวู "เกี่ยวกับการหั่นบาง ๆ อย่างมีเหตุผลของเส้นใยของมิยาซากิ - นอตแอมฟิเชียล" แถลงการณ์ของสมาคมคณิตศาสตร์ลอนดอน 50.3 (2018): 462-476