ประเมิน $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi$

Question

ฉันควรประเมิน:

$$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+e^{2i\phi})^{\alpha} (1+e^{-2i\phi})^{\beta} \, \mathrm{d}\phi $$

โดยใช้ทฤษฎีบททวินามและเอกลักษณ์:

$${}_2F_1 \left(\begin{array}{c}a , b \\ c \end{array};x\right) = \frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)} \int_{0}^{1} t^{b-1}(1-t)^{c-b-1}(1-xt)^{-a} \, \mathrm{d}t$$

ดังนั้นก่อนอื่นโดยใช้ทฤษฎีบททวินามฉันได้รับ:

\begin{align*} &\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \sum_{k=0}^{\beta} \binom{\beta}{k} e^{-2i\phi k} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} e^{2i\phi k} \binom{\beta}{l} e^{-2i\phi l} \, \mathrm{d}\phi \\ &= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sum_{k=0}^{\alpha} \sum_{l=0}^{\beta} \binom{\alpha}{k} \binom{\beta}{l} e^{2i\phi(k-l)} \, \mathrm{d}\phi \end{align*}

แต่จากตรงนี้ฉันไม่รู้ว่าจะดำเนินการอย่างไรหรือใช้ข้อมูลประจำตัวอย่างไร คำแนะนำใด ๆ ?

Answer 1

ถ้า $\beta$ เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบโดยมี $z=e^{2i\phi}$ สิ่งนี้จะกลายเป็น$$\oint_{|z|=1}(1+z)^{\alpha+\beta}\frac{dz}{2iz^{\beta+1}}=\pi[z^\beta](1+z)^{\alpha+\beta}=\pi\binom{\alpha+\beta}{\beta}=\frac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}.$$อัปเดต: @Iridescent ได้ชี้ให้เห็นว่าเราสามารถสรุปให้ซับซ้อนได้อย่างไร $\beta$. อินทิกรัลคือ$2^{\alpha+\beta-1}\int_0^{\pi/2}\cos^{\alpha+\beta}\phi\cos[(\alpha-\beta)\phi]d\phi$เนื่องจากส่วนจินตภาพของ integrand รวมเข้ากับ $0$ บน $[-\tfrac{\pi}{2},\,\tfrac{\pi}{2}]$. คำถามเก่า ๆพิสูจน์ได้ว่าเป็นเช่นนั้นจริงๆ$\tfrac{\pi\Gamma(\alpha+\beta+1)}{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta+1)}$.