รูปแบบทั่วไปของ centralizer
ถ้าเราพูดว่า $B = J_{a_1}(\lambda_1) \oplus J_{a_2}(\lambda_2) ... \oplus J_{a_n}(\lambda_n)$ ฉันกำลังพยายามค้นหารูปแบบทั่วไปของศูนย์กลางของไฟล์ $B$. อันดับแรกเมื่อแลมบ์ดาของเราแตกต่างกัน แต่เมื่อมันไม่เป็นเช่นนั้นและมิติของแต่ละกรณีคืออะไร
ดังนั้นฉันรู้ว่า B ควรเป็นไฟล์ $\sum a_i \times \sum a_i $ เมทริกซ์ที่มีรายการ $\lambda_i$ บนเส้นทแยงมุม แต่ฉันไม่แน่ใจว่าจะหาศูนย์กลางสำหรับแต่ละกรณีได้อย่างไร?
ฉันไม่แน่ใจจริงๆว่าจะเริ่มต้นอย่างไรและถ้ามีใครสามารถชี้ทางที่ดีให้ฉันได้ชื่นชม
คำตอบ
ฉันจะใช้ภาษาของโมดูล
ทางเลือกของตัวดำเนินการเชิงเส้น $A$ บนพื้นที่เวกเตอร์ $V$ เทียบเท่ากับการสร้าง $V$ ก $\mathbb{C}[T]$- โมดูลโดยที่ $T$ ดำเนินการโดยผู้ปฏิบัติงาน $A$. ตั้งแต่$\mathbb{C}[T]$ เป็น PID ซึ่งเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานของโมดูลที่สร้างขึ้นอย่างประณีตเหนือ PID ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ $V$ isomorphic เป็น $\mathbb{C}[T]$- โมดูลสำหรับผลรวมโดยตรงของโมดูลย่อยแบบวนรอบและโมดูลวงจร (โดย Chinese Remainder Theorem) เป็น WLOG ของรูปแบบ $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d$. ถ้าเราเขียนเมทริกซ์สำหรับการคูณโดย -$T$ ในโมดูลดังกล่าวเกี่ยวกับพื้นฐานพลังงาน $\{1,T,\cdots,T^{d-1}\}$ เราได้รับไฟล์ $d\times d$ จอร์แดนบล็อกที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะทั่วไป $\lambda$. ส่วนประกอบที่มี summands โดยตรงทั้งหมด (หรือเทียบเท่าโมดูลย่อยรอบทั้งหมด) ที่มีค่าที่กำหนดเป็น$\lambda$ สร้าง eigenspace ทั่วไปของ $V$ ที่เกี่ยวข้องกับ $\lambda$.
ศูนย์กลางของ $A$ สอดคล้องกับการค้นหา endomorphisms ของ $V$ เป็น $\mathbb{C}[T]$-โมดูล.
โปรดทราบว่า $\hom$ มีการกระจายองค์ประกอบใด ๆ ของ $\hom(\bigoplus V_i,\bigoplus V_j)$ อาจเขียนเป็นเมทริกซ์ที่มี $ij$-entry เป็น homomorphism $V_i\to V_j$. ดังนั้นเพื่อค้นหา endomorphisms โมดูลของ$V$เราจำเป็นต้องกำหนด homomorphisms ของโมดูลที่เป็นไปได้ทั้งหมด $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d\to \mathbb{C}[T]/(T-\mu)^k$. แผนที่ดังกล่าวคือ$T$-equivariant และช่วงของมันคือโมดูลย่อยแบบวนรอบที่สร้างโดยอิมเมจของ $1$. เงื่อนไขเดียวก็คือ$1$ จะต้องถูกส่งไปยังองค์ประกอบที่ถูกทำลายโดย $(T-\lambda)^d$. ทั้ง$k\le d$ หรือนี่หมายความว่า $1$ ถูกส่งไปยังบางสิ่งในโมดูลย่อยแบบวนรอบ $(T-\lambda)^{k-d}$ ซึ่งมีมิติ $d$ ภายใน $(T-\lambda)^k$. ดังนั้นพื้นที่เวกเตอร์ของ homomorphisms ของโมดูลคือ$\min\{d,k\}$ ถ้า $\lambda=\mu$อื่น ๆ $0$.
ดังนั้นหากจอร์แดนบล็อกที่เกี่ยวข้องกับ $\lambda$ มีขนาด $d_1\ge d_2\ge\cdots\ge d_n$ จากนั้นมิติของพีชคณิตเอนโดมอร์ฟิซึม / ตัวรวมศูนย์คือ $\sum_{i,j}\min\{d_i,d_j\}$ ซึ่งเป็นผลรวมของคำศัพท์ในอาร์เรย์
$$ \begin{array}{cccc} d_1 & d_2 & \cdots & d_n \\ d_2 & d_2 & \cdots & d_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_n & d_n & \cdots & d_n \end{array} $$
ซึ่งเท่ากับ $\sum_{j=1}^n (2j-1)d_j$.
โดยทั่วไปเราใช้ผลรวมนี้สำหรับค่าลักษณะเฉพาะทั่วไปแต่ละค่า $\lambda$ และรวมกัน
ในการอธิบายพีชคณิต centralizer / endomorphism เป็นพีชคณิตก่อนอื่นให้ย่อยสลายเป็นผลรวมโดยตรงของ subalgebras ที่เกี่ยวข้องกับแต่ละ $\lambda$จากนั้นเขียนองค์ประกอบของ subalgebras เหล่านี้เป็นเมทริกซ์ซึ่งรายการเป็นองค์ประกอบของโมดูลผลหาร $(T-\lambda)^{k-d}/(T-\lambda)^k$ (การตีความ $k-d$ เช่น $0$ ถ้า $k\le d$) สำหรับตัวเลือกต่างๆของ $d$ และ $k$.
นี่คือตัวอย่าง พิจารณาเมทริกซ์ที่มีการสลายตัวของจอร์แดน
$$ \color{Red}{J_1(0)\oplus J_1(0)\oplus J_2(0)}\oplus \color{Green}{J_3(i)\oplus J_4(i)} \oplus \color{Blue}{J_5(\omega)} $$
- เกี่ยวข้องกับ $\color{Red}{\lambda=0}$ คือ $2\ge1\ge1$ ด้วยผลรวม $\sum_{j=1}^3 (2j-1)d_j=(1)2+(3)1+(5)1=\color{Red}{10}$.
- เกี่ยวข้องกับ $\color{Green}{\lambda=i}$ คือ $4\ge3$ ด้วยผลรวม $\sum_{j=1}^2(2j-1)d_j= (1)4+(3)3=\color{Green}{13}$.
- เกี่ยวข้องกับ $\color{Blue}{\lambda=\omega}$ คือ $5$ ด้วยผลรวม $\sum_{j=1}^1 (2j-1)d_j=(1)5=\color{Blue}{5}$.
ดังนั้นศูนย์กลางแบบเต็มจึงมีมิติ $\color{Red}{10}+\color{Green}{13}+\color{Blue}{5}=28$.
ผลลัพธ์ในแง่ของเมทริกซ์เป็นที่รู้จักกันดีในหมู่นักวิจัย ฉันยังเห็นเอกสารนี้อยู่ในหนังสือเรียนระดับปริญญาตรี แต่ฉันจำชื่อหนังสือไม่ได้
สมมติ $B$ คือผลรวมโดยตรงของ $r$ ฟอร์มของจอร์แดน $J_1,J_2,\ldots, J_r$แต่ละแบบมีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกันและสมมติว่าจอร์แดนแต่ละรูปแบบ $J_k$ มี $b_k$ จอร์แดนบล็อกสำหรับค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda_k$ ของหลายหลาก $m_{k1}\ge m_{k2}\ge\cdots\ge m_{kb_k}$ตามลำดับ นั่นคือสมมติว่า$$ B=\bigoplus_{k=1}^rJ_k=\bigoplus_{k=1}^r\underbrace{\left(J(\lambda_k;m_{k1})\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k;m_{kb_k})\right)}_{J_k}\tag{1} $$ ที่ไหน $J(\lambda;m)$ หมายถึงบล็อกจอร์แดนรูปสามเหลี่ยมส่วนบนที่มีค่าลักษณะเฉพาะ $\lambda$ ของหลายหลาก $m$.
ตัวอย่างเช่นในไฟล์ $9\times9$ ฟอร์มจอร์แดน $B$ ด้านล่างเรามี $J_1=J(1;3)\oplus J(1;2)$ และ $J_2=J(0;2)\oplus J(0;1)\oplus J(0;1)$. $$ B=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \hline &&&1&1\\ &&&0&1\\ \hline &&&&&0&1\\ &&&&&0&0\\ \hline &&&&&&&0\\ \hline &&&&&&&&0 \end{array}\right]. $$ สมการ $BA=AB$ ดังนั้นจึงช่วยลดการบล็อกเป็นสมการของฟอร์ม $$ J(\lambda;m)X=XJ(\mu;n) $$ สำหรับ $m\times n$ เมทริกซ์ $X$. สมมติว่า$m\ge n$ (กรณี $n\le m$สามารถปฏิบัติได้ในทำนองเดียวกัน) โดยการลบทั้งสองข้างด้วย$\mu I$, เราได้รับ $J(\lambda-\mu;m)X=XJ(0;n)$. เมื่อไหร่$\lambda\ne\mu$, เรามี $J(\lambda-\mu;m)^nX=XJ(0;n)^n=0$ และด้วยเหตุนี้ $X$ต้องเป็นศูนย์ เมื่อไหร่$\lambda=\mu$, เรามี $J(0;m)X=XJ(0;n)$. โดยเฉพาะอย่างยิ่งเราได้รับสองความเท่าเทียมกัน:\begin{align} x_{i+1,j+1}=e_i^TJ(0;m)Xe_{j+1}&=e_i^TXJ(0;n)e_{j+1}=x_{ij},\\ J(0;m)Xe_1&=XJ(0;n)e_1=0.\\ \end{align} คนแรกหมายความว่าอย่างนั้น $X$ คือ Toeplitz ในขณะที่อันที่สองหมายถึงการเลื่อนขึ้นของคอลัมน์แรกของ $X$เป็นศูนย์ มันแสดงว่ารายการทั้งหมดอยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักของ$X$ เป็นศูนย์กล่าวคือ $X$คือเมทริกซ์ Toeplitz สามเหลี่ยมด้านบน ในทางกลับกันอาจตรวจสอบได้ว่าเมทริกซ์ Toeplitz รูปสามเหลี่ยมด้านบนทุกตัว$X$ เป็นไปตามสมการ $J(0;m)X=XJ(0;n)$.
ดังนั้นแนวทางแก้ไข $BA=AB$ มีรูปแบบทั่วไป $\bigoplus_{k=1}^rM_k$โดยที่แต่ละ $M_k$ มีขนาดเท่ากับ $J_k$และเมื่อแบ่งพาร์ติชันในลักษณะเดียวกับ $J_k$ (เพื่อให้บล็อกย่อยในแนวทแยงมุมของ $M_k$ มีขนาด $m_{k1},\ldots,m_{kb_k}$ ตามลำดับ) ของมัน $(i,j)$-th sub-block คือเมทริกซ์ Toeplitz สามเหลี่ยมด้านบนในรูปแบบ $$ M_{kij}=\begin{cases} \pmatrix{T_{kij}\\ 0}&\text{when } m_{ki}>m_{kj},\\ T_{kij}&\text{when } m_{ki}=m_{kj},\\ \pmatrix{0&T_{kij}}&\text{when } m_{ki}<m_{kj},\\ \end{cases}\tag{2} $$ ที่ไหน $T_{kij}$ หมายถึงเมทริกซ์ขนาดสี่เหลี่ยมจัตุรัส Toeplitz รูปสามเหลี่ยมด้านบน $\min(m_{ki},m_{kj})$.
ตัวอย่างเช่นศูนย์กลางของก่อนหน้านี้ของเรา $9\times9$ ตัวอย่างมีรูปแบบทั่วไปดังต่อไปนี้: $$ A=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} a&b&c&d&e\\ 0&a&b&0&d\\ 0&0&a&0&0\\ \hline 0&f&g&h&l\\ 0&0&f&0&h\\ \hline &&&&&p&q&s&t\\ &&&&&0&p&0&0\\ \hline &&&&&0&u&v&w\\ \hline &&&&&0&x&y&z\\ \end{array}\right]. $$ ด้วย $(1)$ และ $(2)$ขนาดของพื้นที่ย่อยศูนย์กลางกำหนดโดย $$ \sum_{k=1}^r\sum_{i,j=1}^{b_k} \min (m_{ki}, m_{kj}) =\sum_{k=1}^r\sum_{i=1}^{b_k}(2i-1)m_{ki}, $$ ซึ่งเท่ากับ $(1\times3+3\times2)+(1\times2+3\times1+5\times1)=19$ ในตัวอย่างข้างต้น