แสดงว่า $e^{-|x|^\alpha}$ คือ $\lambda^d$ บูรณาการสำหรับทุก $\alpha>0$

Question

การออกกำลังกายขอให้แสดงว่าฟังก์ชั่น $x\mapsto e^{-|x|^\alpha}$ จาก $\mathbb{R}^d$ ถึง $\mathbb{R}$ คือ $\lambda^d$ บูรณาการสำหรับทุก $\alpha>0$, ที่ไหน $\lambda^d$ หมายถึงการวัด Lebesgue บน $\mathbb{R}^d$. ตามคำแนะนำเราจะอ้างถึงการออกกำลังกายก่อนหน้านี้ซึ่งเราได้แสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันเดียวกันเปิดอยู่$\mathbb{R}$ คือ $\lambda^1$ บูรณาการ

คำถามนี้ใช้พิกัดเชิงขั้ว แต่ในหนังสือของฉันเรายังไม่ได้ใช้เทคนิคนี้ แต่ฉันคิดว่าเราต้องใช้ทฤษฎีบทของ Tonelli แต่แล้วฉันจะแสดงความสามารถในการผสานรวมของแต่ละ$d$ ปริพันธ์มากกว่า $\mathbb{R}$เหรอ?

Answer 1

สิ่งนี้สามารถทำได้ด้วยทฤษฎีบทของ Fubini-Tonelli ปล่อย$f : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันดังกล่าว

$$0 \leq f(x_1, \ldots, x_d) \leq \prod_{i=1}^d g_i (x_i)$$

เพื่อทุกสิ่ง $(x_i)_{1 \leq i \leq d}$ และฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบบางอย่าง $g_i$. จากนั้นทฤษฎีบทของ Fubini-Tonelli ให้เราแยกอินทิกรัลของ$f$:

$$0 \leq \int_{\mathbb{R}^d} f \ d \lambda^d \leq \prod_{i=1}^d \int_{\mathbb{R}} g_i \ d \lambda^1.$$

ตอนนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะหาฟังก์ชันที่รวมได้ $g$ ดังนั้น $e^{-|x|^\alpha} \leq \prod_{i=1}^d g(x_i)$ ทุกที่.

สิ่งที่ง่ายที่สุดที่ควรลองคือ $g(x_i) = e^{-c |x_i|^\alpha}$ สำหรับค่าคงที่ $c > 0$ (ซึ่งอาจขึ้นอยู่กับ $d$). โดยความไม่เท่าเทียมกันความไม่เท่าเทียมกันจะถือ if and only if

$$|x|^\alpha \geq c \sum_{i=1}^d |x_i|^\alpha$$

เพื่อทุกสิ่ง $x \in \mathbb{R}^d$. ซึ่งสามารถทำได้ (เช่นกับไฟล์$c = 1/d$) แต่ ณ จุดนี้ฉันจะให้คุณลอง