แสดงว่า $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$
สมมติ $(X,\mathcal{A},\mu)$ คือพื้นที่วัดและ $f:X\to\mathbb{R}$สามารถวัดผลได้ แสดงว่า
- $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ กำหนดหน่วยวัดบน $\sigma$- พีชคณิตของชุดย่อย Borel ของ $\mathbb{R}$
- แสดงว่า $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ สำหรับทุกฟังก์ชั่น Borel $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$
ที่นี่ฉันสามารถพิสูจน์ส่วนที่ 1 ได้
แต่ฉันกำลังดิ้นรนกับส่วนที่ 2
ฉันรู้ว่าอินทิกรัลของ $g$ ถูกกำหนดด้วยค่าสูงสุดของปริพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย $\phi\leq g$.
ดังนั้นผมจึงเป็นครั้งแรกที่พยายามที่จะพิสูจน์ผลการทำงานง่าย:
ดังนั้นให้$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ เป็นฟังก์ชั่นง่ายๆ
ดังนั้น $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
และหลังจากนั้นฉันก็มองไม่เห็นวิธีที่เหมาะสมในการดำเนินการ
ขอบคุณที่คุณช่วย
คำตอบ
ความเท่าเทียมกันสำหรับฟังก์ชันง่ายๆได้รับการพิสูจน์แล้วในความคิดเห็น สำหรับฟังก์ชันทั่วไปที่ไม่เป็นลบเราสามารถดำเนินการได้ดังที่แสดงด้านล่าง
สำหรับใด ๆ $g \geq 0$ มีลำดับที่ไม่ลดลง$(\alpha_n)$ของฟังก์ชั่นที่เรียบง่ายซึ่งมาบรรจบกันแบบชี้ไปที่มัน จากนั้นเรามี:
$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$
โดยทฤษฎีบทคอนเวอร์เจนซ์แบบโมโนโทนเราได้รับ:
$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$