สำหรับค่าใดของ $\alpha$ คือ { $z_n$} ลำดับขอบเขต?
ที่ไหน $\alpha$ เป็นค่าคงที่จริงพิจารณาลำดับ {$z_n$} ที่กำหนดโดย $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$. สำหรับค่าใด$\alpha$ คือ {$z_n$} ลำดับขอบเขต?
ฉันจะเริ่มต้นด้วยคำถามแบบนี้ได้อย่างไร? ฉันคิดว่า$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ ลำดับนั้นมาบรรจบกันและมีขอบเขต แต่ฉันจะเขียนออกมาได้อย่างไร
คำตอบ
ถ้า $\alpha=0$, $(z_n)$ มีค่าคงที่ดังนั้นจึงมีขอบเขต
ถ้า $\alpha>0$, $(z_n)$ มาบรรจบกันเป็น 0 และมีขอบเขต
ถ้า $\alpha<0$, $(z_n)$ เปลี่ยนเป็น $+\infty$ และไม่ถูกผูกมัด
ตามที่ฉันระบุในความคิดเห็นคุณมีคำตอบที่ถูกต้อง งานที่เหลืออยู่เพียงอย่างเดียวคือการอธิบายคำตอบอย่างเป็นทางการ วิธีหนึ่งในการเขียนคำตอบมีดังนี้:
อันดับแรกเราทราบว่าฟังก์ชัน $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ ที่กำหนดโดย $f(x) = x^{\beta}$ พอใจ $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ ฉันสงสัยว่าคุณไม่จำเป็นต้องพิสูจน์คำพูดนี้อย่างเป็นทางการเพราะเป็นไปได้ว่ามีข้อความในหนังสือเรียนที่คุณสามารถอ้างถึงได้
เมื่อจัดตั้งขึ้นแล้วให้แก้ไขปัญหาใน $3$ กรณี: ในกรณีที่ $\alpha < 0$สรุปโดยใช้ข้อเท็จจริงข้างต้นว่า $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$ซึ่งหมายความว่าลำดับนั้นไม่มีขอบเขต ในกรณีที่$\alpha = 0$สรุปว่า $z_n \to 0$ซึ่งหมายความว่าลำดับนั้นมาบรรจบกันและมีขอบเขต ในทำนองเดียวกันถ้า$\alpha > 0$สรุปว่า $z_n \to 0$ซึ่งหมายความว่าลำดับมาบรรจบกันจึงมีขอบเขต
ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าลำดับนั้นมีขอบเขตถ้าและต่อเมื่อ $\alpha \geq 0$.