สัญกรณ์สำหรับ Ring Extension

Question

ถ้า $K$ เป็นส่วนขยายฟิลด์ของฟิลด์ $F$ (นั่นคือ, $F\subseteq K$), พวกเราเขียน $K/F$. แต่ถ้า$R$เป็นการต่อวงแหวนของวงแหวน$S$ (นั่นคือ, $S\subseteq R$) สัญกรณ์เทียบเท่าคืออะไร? เราเขียน$R/S$ เช่นเดียวกับที่เราต้องการสำหรับฟิลด์หรือสิ่งที่ต้องการ $R\supseteq S$ เหมาะสมกว่า?

Answer 1

ฉันไม่ทราบถึงคำจำกัดความที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปของ "นามสกุลแหวน" โดยไม่มีคุณสมบัติเพิ่มเติม เมื่อคุณไปไกลกว่ากรณีของเขตข้อมูลชัดเจนน้อยกว่ามากว่า "การฉีดยา$S \to R$"เป็นแนวคิดที่ถูกต้องของ" การขยายวงแหวน "ในแง่หนึ่งคุณอาจต้องการพูดคุยเกี่ยวกับแผนที่โดยพลการ $f : S \to R$ไม่จำเป็นต้องฉีด ในทำนองเดียวกันคุณอาจต้องการ$R$ เป็นไปตามอำเภอใจ $S$-พีชคณิต. นี่เป็นสิ่งทั่วไปที่สุดที่คุณสามารถขอได้และมีคุณสมบัติที่เป็นหมวดหมู่ที่ดี ในทางกลับกันคุณอาจต้องการคุณสมบัติต่างๆของแผนที่$f$ตัวอย่างเช่นนั่นคือ

• อินทิกรัล (ซึ่งสรุปส่วนขยายพีชคณิต)
• แบน (อัตโนมัติถ้า$S$ เป็นสนาม)
• แบนอย่างซื่อสัตย์ (คุณสมบัติที่ดีต่างๆ)
• etale (คุณสมบัติที่ดีมาก แต่มีข้อ จำกัด มาก)

และความเป็นไปได้อื่น ๆ อีกมากมาย ฉันยังไม่ทราบถึงสัญกรณ์สำหรับสิ่งเหล่านี้ ผู้คนก็พูดว่า "ปล่อย$f : S \to R$ เป็น (อะไรก็ได้) "(นอกจากนี้มันจะเป็นมาตรฐานในการเขียน $f : R \to S$ ที่นี่)