สมการของ Conics
สมการทั่วไปของภาคตัดกรวยคือ: $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$, ที่ไหน $$\Delta=\begin{vmatrix}a&h&g\\h&b&f \\g&f &c\\ \end{vmatrix}$$นอกจากนี้ยังสามารถวิเคราะห์สมการนี้เพื่อแยกแยะว่ามันเป็นสมการของคู่ของเส้นตรงพาราโบลาวงรีหรือไฮเพอร์โบลา
- ถ้า $\Delta=0$ และ $h^2=ab$แสดงถึงเส้นตรงคู่
- ถ้า $\Delta \neq 0$ และ $h^2=ab$มันแสดงถึงพาราโบลา
- ถ้า $\Delta \neq 0$ และ $h^2<ab$มันแสดงถึงวงรี
- ถ้า $\Delta\neq 0$ และ $h^2>ab$มันแสดงถึงไฮเพอร์โบลา
ดังนั้นคำถามของฉันคือ
คุณสามารถแสดงข้อพิสูจน์ได้หรือไม่ว่าเหตุใดจึงมีความสัมพันธ์สำหรับรูปร่างที่แตกต่างกัน?
ฉันต้องการแนวทางเชิงวิเคราะห์ / เรขาคณิตมากกว่า
คำตอบ
คำตอบนี้จะอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าส่วนระนาบใด ๆ ของกรวยรูปไข่ด้านขวาก็เป็นส่วนระนาบของกรวยวงกลมด้านขวาเช่นกัน ความจริงนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การแปลงความสัมพันธ์ที่ทำให้กรวยขยายออกไปในทิศทางของแกนรองของฐานรูปไข่เท่านั้นเพื่อที่จะเปลี่ยนฐานเป็นวงกลมโดยมีการแสดงให้เห็นว่าการเปลี่ยนแปลงของรูปกรวย ส่วนเป็นรูปกรวยประเภทเดียวกัน (ดูคำถามด้วยจะเป็นอย่างไรถ้าเรามีกรวยที่มีฐานรูปไข่? )
ฉันจะจัดประเภทวงกลมเป็นกรณีพิเศษของวงรีเพื่อที่ฉันจะได้เขียนว่า "วงรี" แทนที่จะเป็น "วงรีหรือวงกลม"
สังเกตว่าถ้า
$$ M = \begin{pmatrix} a&h&g \\ h&b&f \\ g&f&c \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad \mathbf x = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} $$
แล้ว $\Delta$ เป็นดีเทอร์มิแนนต์ของ $M$. ยิ่งไปกว่านั้น$\mathbf x^\top M \mathbf x$ (โดยที่ตัวยก $^\top$ หมายถึงทรานสโพส) เป็นพหุนามกำลังสองที่เป็นเนื้อเดียวกัน \begin{align} \mathbf x^\top M \mathbf x &= \begin{pmatrix} x&y&z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a&h&g \\ h&b&f \\ g&f&c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \\ &= ax^2+2hxy+by^2+2gxz+2fyz+cz^2. \end{align}
ถ้าเราตั้งค่าพร้อมกัน $\mathbf x^\top M \mathbf x = 0$ และ $z = 1,$ เราได้สมการ $$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c = 0, \tag1 $$ แต่เรายังได้จุดตัดของรูปสามมิติที่ตรงตามสมการ $$ \mathbf x^\top M \mathbf x = 0 \tag2 $$ กับเครื่องบิน $z = 1.$
เมทริกซ์จริงสมมาตร $M$ สามารถเป็นเส้นทแยงมุมได้เสมอนั่นคือสามารถแสดงเป็นผลคูณของแบบฟอร์มได้ $R^\top DR$ ที่ไหน $R$ เป็นเมทริกซ์มุมฉากและ $D$คือเมทริกซ์ทแยงมุม สมการ$(2)$ สามารถเขียนใหม่ได้
$$ 0 = \mathbf x^\top R^\top DR \mathbf x = (R\mathbf x)^\top D (R \mathbf x). \tag3 $$
สังเกตว่า $R\mathbf x$ เป็นเพียงการหมุนเวกเตอร์ $\mathbf x$. ให้พิกัดของ$R\mathbf x$ และรายการของ $D$ เป็น $$ R\mathbf x = \begin{pmatrix} x'\\y'\\z' \end{pmatrix} \qquad \text{and} \qquad D = \begin{pmatrix} a'&0&0 \\ 0&b'&0 \\ 0&0&c' \end{pmatrix}. $$
สมการ $(3)$ จากนั้นจะเทียบเท่ากับ
$$ a' x'^2 + b' y'^2 + c' z'^2 = 0. \tag4 $$
โปรดทราบว่า $\Delta \neq 0$ ถ้าและเท่านั้น $M$ กลับไม่ได้ซึ่งเป็นจริงถ้าและต่อเมื่อ $a',$ $b',$ และ $c'$ ล้วนไม่ใช่ศูนย์
ลองพิจารณากรณีแรก $\Delta \neq 0$.
ถ้า $a',$ $b',$ และ $c'$ ทั้งหมดไม่เป็นศูนย์และทั้งหมดมีเครื่องหมายเดียวกัน (ทั้งหมดเป็นบวกหรือลบทั้งหมด) จากนั้นจึงเป็นทางออกเดียวของสมการ $(4)$ คือ $x' = y' = z' = 0,$ นั่นคือ, $R\mathbf x = 0.$ แต่เพราะว่า $R\mathbf x$ เป็นการหมุนเวียนของ $\mathbf x,$ โดยนัยนี้ $\mathbf x = 0,$ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง, $z = 0,$ ดังนั้นสมการ $(1)$ ไม่มีทางแก้ไข
ถ้า $a',$ $b',$ และ $c'$ ทั้งหมดไม่ใช่ศูนย์ แต่ไม่มีเครื่องหมายเดียวกันอย่างน้อยหนึ่งใน $a',$ $b',$ และ $c'$เป็นบวกและอย่างน้อยหนึ่งอย่างเป็นลบ ในกรณีนั้นพื้นผิวที่อธิบายโดยสมการ$(4)$ เป็นรูปกรวยวงรีด้านขวาคู่ที่ไม่มีที่สิ้นสุดโดยมีแกนอยู่ในแนวเดียวกับแกนหมุนอันใดอันหนึ่ง ($x',$ $y',$ หรือ $z'$). ขึ้นอยู่กับรูปร่างของกรวยและการหมุนของแกนโดยเมทริกซ์$R,$ จุดตัดของกรวยนี้กับระนาบ $z=1$ อาจเป็นวงรีพาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลา
ทีนี้ลองพิจารณากรณีที่ $\Delta = 0$.
สำหรับกรณีย่อยที่หนึ่งใน $a',$ $b',$ และ $c'$ เป็นศูนย์สมมติว่า $c'=0.$ แล้วถ้า $a'$ และ $b'$ มีเครื่องหมายเดียวกันในการแก้สมการ $(4)$ คือ $x'=y'=0,$ บรรทัดเดียวซึ่งแสดงถึงการแก้สมการ $(1)$เป็นจุดเดียวหรือเซตว่าง ถ้า$a'$ และ $b'$ มีเครื่องหมายตรงข้ามกับสมการ $(4)$ เทียบเท่ากับ $$ \left(\sqrt{\lvert a'\rvert}\;x' + \sqrt{\lvert b'\rvert}\; y'\right) \left(\sqrt{\lvert a'\rvert}\; x' - \sqrt{\lvert b'\rvert}\; y'\right) = 0, $$ ซึ่งอธิบายระนาบที่ตัดกันคู่หนึ่งดังนั้นคำตอบของสมการ $(1)$เป็นหนึ่งหรือสองบรรทัด เราได้ผลลัพธ์ประเภทเดียวกันถ้าเราคิดว่า$a'=0$ หรือ $b'=0.$
สำหรับกรณีย่อยที่สองจาก $a',$ $b',$ และ $c'$ เป็นศูนย์สมมติว่า $b'=c'=0.$ จากนั้นสมการ $(4)$ เป็นเพียง $$ a'x'^2 = 0,$$ ซึ่งชุดวิธีแก้คือคู่ของระนาบคู่ขนานดังนั้นคำตอบของสมการ $(1)$เป็นสองบรรทัดหรือเซตว่าง เราได้ผลลัพธ์ประเภทเดียวกันถ้าเราคิดว่า$b'$ หรือ $c'$ คือค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์
กรณีย่อยสุดท้ายคือ $a'=b'=c'=0,$ นั่นคือ, $D = 0,$ ซึ่งหมายความว่า $M=0,$ ซึ่งในกรณีนี้ชุดการแก้ปัญหาของสมการ $(4)$ คือพื้นที่ทั้งหมดและชุดคำตอบของสมการ $(1)$ คือเครื่องบินทั้งหมด
ณ จุดนี้เราได้เห็นแล้วว่าถ้า $\Delta \neq 0$ เรามีทั้งวงรีพาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลาในขณะที่ถ้า $\Delta = 0$เรามีเส้นคู่เส้นเดียวจุดเดียวเซตว่างหรือระนาบทั้งหมด ดังนั้นคำสั่งเดิมจึงไม่สมบูรณ์เพราะถือว่ามีเพียงคู่บรรทัดเท่านั้นที่เป็นทางออกที่เป็นไปได้เมื่อ$\Delta = 0$. แต่ในกรณีนี้คุณสามารถพูดได้ว่าถ้าวิธีแก้ปัญหาไม่สำคัญ (ว่างเปล่าหรือทั้งระนาบ) และมีมากกว่าหนึ่งจุดแสดงว่าเป็นเส้นคู่ซึ่งอาจเป็นหรือไม่ใช่เส้นเดียวกัน
ในการจำแนกส่วนของกรวยรูปไข่ในกรณีที่ $\Delta \neq 0$ลองดูที่ด้านซ้ายบน $2\times2$ subatrix ของ $M.$ ปล่อย $$ A = \begin{pmatrix} a&h \\ h&b \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf b = \begin{pmatrix} g\\f \end{pmatrix}. $$ แล้ว $M$ สามารถเขียนเป็นเมทริกซ์บล็อก
$$ M = \begin{pmatrix} A & \mathbf b \\ \mathbf b^\top & c \end{pmatrix} = \left(\begin{array}{cc|c} a&h&g \\ h&b&f \\ \hline g&f&c \end{array}\right). $$
โปรดทราบว่า $A$ สมมาตรและสามารถทำให้เป็นแนวทแยงมุมได้โดยบางมุมฉาก $2\times2$ เมทริกซ์ $R_2$. ถ้าเราปล่อยให้$$ S = \begin{pmatrix} R_2 & \begin{matrix} 0\\0 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0&0 \end{matrix} & 1 \end{pmatrix} $$ แล้ว $S$ คือการหมุนรอบ $z$ แกนและด้านซ้ายบน $2\times 2$ subatrix ของ $S^\top MS$ เป็นเส้นทแยงมุม
ถ้า $h^2 \neq ab,$ นั่นคือถ้าดีเทอร์มิแนนต์ของ $A$ ไม่ใช่ศูนย์แล้วเป็นส่วนบน $2\times 2$ subatrix ของ $S^\top MS$ มีรายการที่ไม่ใช่ศูนย์ในองค์ประกอบเส้นทแยงมุมทั้งสองและมีการแปลขนานกับ $x,y$ ระนาบที่เป็นศูนย์ออกองค์ประกอบนอกแนวทแยงที่เหลือของ $S^\top MS$. (ดูคำตอบสำหรับคำถามอื่นสำหรับแนวคิดเกี่ยวกับวิธีการนี้) ในกรณีนี้การตั้งค่า$z = 1$เราได้สมการของรูปแบบ
$$ a'' x''^2 + b'' y''^2 + c'' = 0 \tag5$$
(ในพิกัดแปล $x'', y''$) ที่ไหน $$ \begin{vmatrix} a'' & 0 \\ 0 & b'' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & h \\ h & b \end{vmatrix}. $$
ถ้าการแก้สมการ $(5)$ ไม่ว่างเปล่ามันเป็นวงรี (เมื่อ $a''$ และ $b''$ มีเครื่องหมายเดียวกันซึ่งเกิดขึ้นถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของ $A$ เป็นบวกซึ่งเกิดขึ้นถ้าและต่อเมื่อ $h^2 < ab$) หรือไฮเพอร์โบลา (เมื่อ $a''$ และ $b''$ มีสัญญาณตรงกันข้ามถ้าดีเทอร์มีแนนต์ของ $A$ เป็นบวกถ้าและต่อเมื่อ $h^2 > ab$).
ถ้า $h^2 = ab,$ แล้วดีเทอร์มิแนนต์ของ $A$เป็นศูนย์และเมื่อเราทำเส้นทแยงมุมเราจะได้เมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์เพียงองค์ประกอบเดียว โดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้องค์ประกอบนอกแนวทแยงเป็นศูนย์ทั้งหมดของ$S^\top MS$ โดยการแปลพิกัดขนานกับ $x,y$ระนาบ แต่เป็นไปได้ที่จะทำให้องค์ประกอบหนึ่งในคอลัมน์ขวาสุดเป็นศูนย์และองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องในแถวล่างสุด สมมติว่าองค์ประกอบด้านซ้ายบนของ$S^\top MS$ ไม่ใช่ศูนย์ (ซึ่งเราสามารถทำได้โดยการเลือกการหมุนเวียนที่เหมาะสม $S$) โดยการแปลเราสามารถแทนที่ได้ $S^\top MS$ ด้วยเมทริกซ์ของแบบฟอร์ม $$M''= \begin{pmatrix} a''&0&0 \\ 0&0&f''\\ 0&f''&c''\end{pmatrix},$$ และวิธีแก้ปัญหาของ $\mathbf x^\top M\mathbf x = 0$ มีรูปร่างเหมือนกับการแก้ปัญหาของ
$$ a''x''^2 + 2f''y'' + c'' = 0. \tag6 $$
เงื่อนไข $\Delta \neq 0$ หมายความว่าเมทริกซ์ $M''$ มีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งหมายความว่า $f'' \neq 0,$ ดังนั้นคำตอบของสมการ $(6)$ คือพาราโบลา
โดยสรุปในกรณี $h^2 < ab$ เรามีสมการแปลงร่างซึ่งคำตอบคือวงรีในกรณีนี้ $h^2 > ab$ สารละลายที่แปลงแล้วเป็นไฮเพอร์โบลาและในกรณีนี้ $h^2 = ab$สารละลายที่เปลี่ยนรูปแล้วคือพาราโบลา คำตอบของสมการดั้งเดิม$(1)$ เป็นรูปทรงเดียวกับโซลูชันที่เปลี่ยนรูป แต่อาจถูกหมุนและ / หรือแปลเป็นไฟล์ $x,y$ เครื่องบิน.
ไปทางอื่นกันเถอะ:
คู่ของเส้นมีสมการ $k(a_1 x+b_1 y+c_1)(a_2 x+b_2 y+c_2)=0,$ ซึ่งสอดคล้องกับเมทริกซ์เป็น $\begin{pmatrix}a_1 \\b_1\\c_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&b_2&c_2\end{pmatrix},$ ซึ่งอยู่ในอันดับ $1$และด้วยเหตุนี้จึงมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ นอกจากนี้ผู้เยาว์ 2 คูณ 2 ทั้งหมดยังเป็นศูนย์โดยเฉพาะ$h^2-ab=0.$
ตอนนี้พาราโบลาใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของ $\frac{(a_d x+b_d y+c_d)^2}{a_d^2+b_d^2}=(x-f_x)^2+(y-f_y)^2$ หรือ $-k\frac{(b_d x-a_d y)^2+((-2b_d^2f_x)-2a_d^2f_x-2a_dc_d)x+((-2b_d^2f_y)-2a_d^2f_y-2b_dc_d)y+(b_d^2f_y^2+a_d^2f_y^2+b_d^2f_x^2+a_d^2f_x^2-c_d^2)}{a_d^2+b_d^2}=0.$ นั่นคือรายย่อยรายแรก $\frac{k^2}{(a_d^2+b_d^2)^2}\begin{pmatrix}b_d^2&-a_db_d\\-a_db_d&a_d^2\end{pmatrix}$ หายไปหรือ $h^2=ab.$
โดยทั่วไปแล้ววงรีใด ๆ สามารถกำหนดได้ว่ามีสมการตามสัดส่วน $e^2\frac{(a_d x+b_d y+c_d)^2}{a_d^2+b_d^2}=(x-f_x)^2+(y-f_y)^2$ ด้วยความเบี้ยวกำลังสอง $0<e^2<1$ และไฮเพอร์โบลาใด ๆ ด้วยสมการเดียวกันกับ $e^2>1$. ทำให้ผู้เยาว์คนแรก
$\frac{k^2}{(a_d^2+b_d^2)^2}\begin{pmatrix}a_d^2(e^2-1)-b_d^2&a_db_de^2\\a_db_de^2&b_d^2(e^2-1)-a_d^2\end{pmatrix},$ ซึ่งมีสัดส่วนดีเทอร์มิแนนต์กับ $(e^2-1)(a_d^2+b_d^2)^2.$