Stress-Energy Tensor สำหรับฝุ่น

Question

สรุป :: ฉันพบสองนิพจน์ที่แตกต่างกันสำหรับอีเอ็มเทนเซอร์สำหรับฝุ่นและอนุพันธ์ทั้งสองดูเหมือนจะเหมาะกับฉัน

ให้การดำเนินการสำหรับระบบฝุ่น $$S =-\sum m_q \int \sqrt{g_{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}^\mu_q(\lambda)\dot{x}^\nu_q(\lambda)} d\lambda,$$ ที่ฉันใช้ $(+,-,-,-)$ลงนามในอนุสัญญา Energy-Momentum Tensor (EMT) ถูกกำหนดโดยรูปแบบของเมตริก

$$\delta S = \frac{1}{2}\int T_{\mu\nu} \delta g^{\mu\nu} \sqrt{g} d^4x.$$

เพื่อคำนวณว่าฉันใช้สองวิธีที่แตกต่างกันวิธีแรกเพราะฉันต้องการเปลี่ยนแปลง $g^{\mu\nu}$ ฉันคิดว่ามันจะดีกว่าที่จะเขียน $S =-\sum m_q \int \sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)} d\lambda$. แล้ว

$$\delta S = -\sum m_q \int \frac{\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{2\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda.$$

และคูณด้วย $1=\int \delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\frac{\sqrt{g}}{\sqrt{g}} d^4x$

$$\delta S = -\frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

การให้

$$T_{\mu\nu} = -\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} d\lambda.$$

แนวทางที่สองคือการเปลี่ยนรูปแบบเป็น $g_{\mu\nu}$ทำตามขั้นตอนเดียวกับที่ฉันได้รับ

$$\delta S = -\frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}^\mu_{q}(\lambda)\dot{x}_{q}^\nu(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g_{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q}^\mu(\lambda)\dot{x}_{q}^\nu(\lambda)}} \delta g_{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

ตอนนี้เพราะ $0=\delta(g_{\mu\nu}g^{\nu\lambda})$ เราต้องมี $\delta g_{\mu\nu} = -g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}\delta g^{\alpha\beta}$ ดังนั้นฉันจึงพบ

$$\delta S = \frac{1}{2}\sum m_q \int \frac{\delta^{(4)}(x^\mu - x^{\mu}_q(\lambda))\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}{\sqrt{g}\sqrt{g^{\mu\nu}[x_q(\lambda)]\dot{x}_{q\mu}(\lambda)\dot{x}_{q\nu}(\lambda)}} \delta g^{\mu\nu}d\lambda \sqrt{g}d^4x.$$

ให้ EMT เท่ากัน แต่มีเครื่องหมายลบ อันที่สองดูเหมือนดีกว่าเพราะให้ความหนาแน่นของพลังงานที่ล้อมรอบด้านล่างในขณะที่อันแรกไม่ใช่ แต่ฉันไม่เห็นความผิดพลาดใด ๆ นอกจากนี้เนื่องจากอนุพันธ์ทั้งสองมีความคล้ายคลึงกันมากฉันไม่คิดว่าข้อผิดพลาดเกี่ยวกับพีชคณิตสามารถอธิบายความแตกต่างดังกล่าวได้ดังนั้นข้อผิดพลาดจึงต้องเป็นแนวคิด

Answer 1

ความผิดพลาดทางความคิดที่เป็นไปได้:

1. สังเกตว่าความเร็ว $\dot{x}_{\mu}:= g_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}$ด้วยดัชนีที่ต่ำกว่าโดยปริยายขึ้นอยู่กับเมตริก ในทางตรงกันข้ามความเร็ว$\dot{x}^{\nu}$ด้วยดัชนีด้านบนไม่ได้ขึ้นอยู่กับเมตริก นี่เป็นสิ่งสำคัญเมื่อเราเปลี่ยนแปลง WRT เมตริก

2. ความเค้น - พลังงาน - โมเมนตัมเทนเซอร์ขึ้นอยู่กับรูปแบบการเข้าสู่ระบบสำหรับเมตริก cf นี้โพสต์ Phys.SE