ทฤษฎีบท Cramer-Wold

Question

ทฤษฎีบท (อุปกรณ์ Cramer-Wold): การแจกแจงแบบสุ่ม $n$- เวกเตอร์ $X$ ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยชุดของการกระจายเชิงเส้นมิติเดียวทั้งหมด $t^TX$, ที่ไหน $t$ ช่วงทั้งหมดคงที่ $n$- แพทย์ $$$$พิสูจน์. $ Y: = t ^ TX $มีฟังก์ชันลักษณะ: $$ \ phi_Y (s): = E [e ^ {isY}] = E [e ^ {ist ^ TX}] $$หากเราทราบการแจกแจงของแต่ละ$ Y $เรารู้ว่ามัน CF $ \ phi_Y (s) $ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการ$ s = 1 $เรารู้$ E [อี ^ {ist ^ เท็กซัส}] $ แต่นี้เป็น CF ของ$ x = (X_1 \ ldots, X_n) ^ T $ประเมินที่$ t = (t_1 \ ldots, t_n) ^ T $ แต่สิ่งนี้กำหนดการกระจายของ$ X. $

คำถามของฉัน:

1. ถ้า$ s = 1 $แล้วการพิสูจน์จะสูญเสียลักษณะทั่วไปหรือไม่? ทำไมจะไม่ล่ะ?
2. การตีความการพิสูจน์ของฉันคือถ้าการรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์และเวกเตอร์มีฟังก์ชันลักษณะเดียวกันการแจกแจงจะเหมือนกัน การตีความนี้ถูกต้องหรือไม่? 3) 'กำหนดอย่างสมบูรณ์' ในทฤษฎีบทหมายถึงอะไร?

Answer 1

• ฉันไม่เข้าใจความหมายของคำว่า "สูญเสียลักษณะทั่วไป" ในคำถามแรกของคุณ "ความทั่วไป" เพียงอย่างเดียวในการพิสูจน์ที่ดูเหมือนว่าสำหรับฉันจะมีความสำคัญใด ๆ ก็คือสิ่งนั้นจะต้องใช้ได้ผลกับสิ่งใด ๆ$\ n$- เวกเตอร์และอื่น ๆ $\ n\ $ซึ่งมันทำ การใส่$\ s=1\ $ เป็นเพียงขั้นตอนเดียวในการพิสูจน์ซึ่งเป็นขั้นตอนที่คุณสามารถดำเนินการได้อย่างถูกต้องโดยไม่คำนึงถึงค่านิยม $\ n\ $ และ $\ X\ $ ดังนั้นจึงไม่ได้กำหนดข้อ จำกัด ใด ๆ กับพวกเขา

• เวกเตอร์ไม่ใช่สิ่งเดียวกับการรวมกันเชิงเส้นของรายการ (เว้นแต่เวกเตอร์ $\ X\ $ คือ $1$- มิติและชุดค่าผสมเชิงเส้นคือ $\ 1\cdot X\ $) ซึ่งต้องเป็นสเกลาร์ ดังนั้นทั้งการแจกแจงหรือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของเวกเตอร์สุ่มจะไม่เหมือนกับการรวมเชิงเส้นของรายการเวกเตอร์สุ่มนั้น การแจกแจงแบบสุ่ม$\ n$-vector และฟังก์ชันลักษณะเฉพาะจะเป็นฟังก์ชันของ $\ n\ $ตัวแปรในขณะที่ทั้งการแจกแจงและฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของการรวมเชิงเส้นโดยเฉพาะของรายการเวกเตอร์สุ่มจะเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดียว

  ประเด็นสำคัญในอุปกรณ์ Cramer-Wold คือคุณจำเป็นต้องทราบการแจกแจงแบบมิติเดียวที่ไม่ใช่เฉพาะการรวมเชิงเส้นเฉพาะบางอย่างของรายการเวกเตอร์สุ่ม แต่เป็นชุดค่าผสมเชิงเส้นทุกชุดและสิ่งนี้จะช่วยให้คุณสามารถอนุมานการสุ่มได้ การแจกแจงของเวกเตอร์ฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนมากจากกลุ่มฟังก์ชันที่ไม่มีที่สิ้นสุดของตัวแปรเดียว