ทฤษฎีบทสองขั้ว
ผมติดอยู่กับปัญหาต่อไปขณะที่จะผ่านการพิสูจน์ของบทแทรก$1.9$(i)จากหนังสือ 'Lectures on von Neumann Algebras' โดยStrătilăและZsidó
ปล่อย $\mathscr{B}$ เป็นพื้นที่ Banach และ $\mathscr{B}^*$ เป็นคู่ของ $\mathscr{B}$. ปล่อย$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$ เป็นพื้นที่ย่อยเวกเตอร์ปิดบรรทัดฐานเช่นนั้น $\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$ (คือ isomorphic isomorphic) ผ่านรูปแบบทวิภาคีบัญญัติบน $\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. พิจารณาไฟล์$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-topology บน $\mathscr{B}$ ซึ่งกำหนดโดยตระกูลกึ่งบรรทัดฐาน $\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, ที่ไหน $p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$ สำหรับ $x\in \mathscr{B}$. ปล่อย$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$ เป็น $\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$- ปิดพื้นที่ย่อยเวกเตอร์
ปัญหา:ถ้า$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$แล้วพิสูจน์ว่า $\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.
ผู้เขียนโทร $\mathscr{M}^{\circ}$ ขั้วของ $\mathscr{M}$แล้วบอกว่าข้อสรุปดังกล่าวมาจากทฤษฎีบทสองขั้ว แต่ฉันไม่พบข้อมูลอ้างอิงใด ๆ สำหรับ 'ทฤษฎีบทสองขั้ว' นั้น ใครก็ได้ช่วยฉันด้วยการอ้างอิงที่เหมาะสมสำหรับ 'ทฤษฎีบทสองขั้ว' พร้อมกับวิธีแก้ปัญหา ขอบคุณล่วงหน้า.
คำตอบ
ปล่อย $$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$ เรามี $\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$ ตามความหมายของ $\mathscr M^o$. สมมติว่ามีอยู่$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. เช่น$\mathscr M$ นูนและ $\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$- ปิดโดย Hahn-Banach มีอยู่ $\varphi$, เชิงเส้นและ $\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$- ต่อเนื่องกับ $\varphi(z)=1$ และ $\varphi|_{\mathscr M}=0$. $\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$- ฟังก์ชั่นต่อเนื่องบนพื้นที่ขนาดกะทัดรัดแบบคู่ในพื้นที่เป็นสิ่งที่แม่นยำในช่วงก่อนกำหนด (ดูตัวอย่างเช่น Theorem V.1.3 ใน Conway's A Course in Functional Analysis ); ดังนั้น$\varphi\in\mathscr B_*$. แล้ว$\varphi\in\mathscr M^o$; เช่น$z\in\mathscr M^{oo}$เราจะมี $\varphi(z)=0$ความขัดแย้ง ดังนั้น$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.