Triple Integral / Volume Evaluation

Question

คำถาม:จงหาปริมาตรของของแข็งที่อยู่ภายในกระบอกสูบทั้งสอง$x^2+y^2=1$ และทรงกลม $x^2+y^2+z^2=4$.

วิธีการแก้ปัญหาให้กับเราโดยผู้สอนของเรา:$$\int_{0} ^{2\pi}\int _{0} ^{1} \int _{-\sqrt3} ^{\sqrt3} r\,dz\,dr\,d\theta$$

ฉันคิดว่าวิธีนี้ไม่ถูกต้องเนื่องจากพื้นผิวด้านบนและด้านล่างในไฟล์$z$ ทิศทางไม่ชัดเจน $-\sqrt3$ และ $\sqrt3$และรัศมีภายในกระบอกสูบไม่สามารถเป็นค่าคงที่เหมือน 1 ได้หากเราเริ่มจากจุดกำเนิด (ฉันอาจจะผิดก็ได้)

ใครช่วยแสดงวิธีตั้งค่าปริพันธ์สามส่วนอย่างถูกต้องเพื่อแก้ปัญหานี้หรืออธิบายให้ฉันฟังได้ไหมว่าทำไมสมการข้างบนถึงถูกต้อง

ขอบคุณล่วงหน้า!

Answer 1

คุณพูดถูก นั่นคือปริมาตรของกระบอกสูบดังนั้นจึงไม่สามารถเป็นอินทิกรัลที่ถูกต้องได้ มันควรจะเป็น$$\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}}r\,\mathrm dz\,\mathrm dr\,\mathrm d\theta.$$