$uu^* \leq vv^* \implies \exists w : u = vw$

Question

พิจารณาส่วนต่อไปนี้จากหนังสือของ Murphy "$C^*$-algebras และทฤษฎีตัวดำเนินการ ":

เราจะขยายได้อย่างไร $w_0$ ไปยังแผนที่ $w_1: H \to H$เหรอ? ฉันเดาว่าเราขยายก่อน$w_0$ เพื่อปิด $\overline{v^*(H)}$ แล้วกำหนดให้เป็น $0$บนส่วนเสริมมุมฉาก ได้ผลหรือไม่

นอกจากนี้ทำไมเราถึงมี $u = vw_1$เหรอ? สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับส่วนขยายที่ชัดเจนของ$w_0$ หรือเป็นจริงสำหรับส่วนขยายที่มีขอบเขตทั้งหมดของ $w_0$เหรอ?

Answer 1

ใช่คุณสามารถทำได้เสมอ หากคุณไม่เคยทำมาก่อนคุณต้องแสดงให้เห็นว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตใด ๆ สามารถขยายได้โดยต่อเนื่องไปจนถึงการปิดโดเมน และถ้าคุณย่อยสลาย$H=H_1\oplus H_1^\perp$ และ $S,T$ เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขตอยู่ $H_1$ และ $H_1^\perp$ ตามลำดับแล้ว $S\oplus T$ ที่กำหนดโดย $(S\oplus T)(x\oplus y)=Sx\oplus Ty$ เป็นตัวดำเนินการที่มีขอบเขต $\|S\oplus T\|\leq\|S\|+\|T\|$.