VECM แทนระบบ I (0)?

Question

ฉันกำลังอ้างถึงJohansen (1991)ซึ่งเขาพิจารณาก$p$- กระบวนการสั่งซื้ออัตโนมัติแบบมิติ $k$

$$ X_t = \sum_{i=1}^{k} \Pi_i X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{1}\label{1} $$

เขียนในแบบฟอร์มแก้ไขข้อผิดพลาดเวกเตอร์

$$ \Delta X_t = \Pi X_{t-1} \ + \ \sum_{i=1}^{k-1} \Gamma_i \Delta X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{2}\label{2} $$

ที่ไหน $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i \ - \ I$ และ $\Gamma_i = - \sum_{j=i+1}^k \Pi_j$.

เขาระบุโดยไม่มีการอ้างอิงหรือพิสูจน์ว่าหาก $\ p\times p \ $ เมทริกซ์ $\Pi$ มีอันดับเต็มแล้ว $X_t$ เป็นกระบวนการที่หยุดนิ่ง

ใครสามารถให้ข้อมูลอ้างอิงแก่ฉันหรือสามารถพิสูจน์สิ่งนี้ได้?

Answer 1

ใช่ฉันจะให้ข้อมูลอ้างอิงและสัญชาตญาณสั้น ๆ ใน Lutkepohls "บทนำใหม่เกี่ยวกับการวิเคราะห์อนุกรมเวลา" (2005, p.248) เขาอธิบายว่าอันดับเต็มของ$\Pi$ ในสมการ (2) บอกเป็นนัยว่าจริงๆ $X$อยู่นิ่ง อันดับของเมทริกซ์เกี่ยวข้องโดยตรงกับการกลับไม่ได้เมทริกซ์อันดับเต็มจะกลับตัวไม่ได้และเมทริกซ์ของอันดับที่ต่ำกว่าเป็นเอกพจน์ สิ่งนี้ชัดเจนถ้าคุณคิดว่าดีเทอร์มิแนนต์เป็นผลคูณขององค์ประกอบแนวทแยงของเมทริกซ์ที่ลดลงเมื่อมันไม่ใช่อันดับเต็มอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบในผลิตภัณฑ์นี้เป็นศูนย์ทำให้ดีเทอร์มีแนนต์เป็นศูนย์ การกลับหัวของ$\Pi$เกี่ยวข้องกับความเสถียรของ$\Pi$ซึ่งหมายถึงการหยุดนิ่ง