เวลากระทืบใหญ่
สำหรับจักรวาลที่แบนมีสสารและค่าคงที่ของจักรวาลเราสามารถเขียนสมการฟรีดมันน์ได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:
$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$
ฉันเข้าใจว่าถ้าเทอมสองเป็นลบ ($\Omega_{m,0}>1$) แล้วชะตากรรมสุดท้ายของจักรวาลก็คือการล่มสลายอีกครั้งใน Big Crunch!
ฉันเข้าใจว่าฉันสามารถคำนวณค่าสูงสุดของสเกลแฟคเตอร์ได้ $H^{2}=0$ และฉันสามารถเขียนสมการข้างต้นใหม่เป็น ODE ได้โดยใช้พีชคณิตบางส่วนเพื่อให้มีนิพจน์ต่อไปนี้:
$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$
ที่สัมพันธ์เวลาจักรวาลกับสเกลแฟคเตอร์ $a$. คำถามของฉันมีดังต่อไปนี้: ฉันจะคำนวณเวลา Big Crunch ได้อย่างไร (เช่นเวลาที่เราจะมีอีกครั้ง$a=0$เหรอ?
ฉันแม้ว่ามันจะเป็นสองเท่าของอินทิกรัลข้างต้นโดยที่ขีด จำกัด บนเป็น $a$ ที่เรามี $H(t) = 0$แต่มันไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน นอกจากนี้บทนำสู่จักรวาลวิทยาโดย Barbara Rydenกล่าวว่าเวลาที่ฉันกำลังมองหาคือ (eq.5.98):
$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$
สิ่งที่ฉันคิดว่ามันบ่งบอกว่าฉันกำลังลองผิดวิธี ใครสามารถช่วยฉัน? ฉันจะหาสมการข้างต้นได้อย่างไร?
คำตอบ
อินทิกรัลนั้นมีโซลูชันรูปแบบปิด $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$
สำหรับจักรวาลที่เกิดการยุบตัวใหม่จะทำให้คุณมีวิวัฒนาการที่ขยายออกไปเพียงครึ่งเดียวซึ่งจะสิ้นสุดลงเมื่ออาร์กไซน์ถึงค่าสูงสุด $π/2$. อายุรวมจึง$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$.