วิธีการร่างชุด

Question

ฉันขอให้ร่างของชุดนี้: $K = \{(x,y)\in\mathbb R^2: 13x^2-10xy+13y^2=72\}$จากนั้นให้คะแนนที่ระยะห่างจากจุดกำเนิดสูงสุด / จะสูงสุด โปรดช่วยฉันด้วย ไม่รู้จะแก้ยังไง ขอบคุณล่วงหน้า

Answer 1

วิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่กำหนด

• มันสมมาตรเกี่ยวกับ $x=y$ เป็นการแลกเปลี่ยนกัน $x$ และ $y$ ให้สมการเดียวกัน
• มันสมมาตรเกี่ยวกับ $x+y=0$ แทนที่ $y$ โดย $-x$ และ $x$ โดย $-y$ ให้สมการเดียวกัน
• มันคือสมการ 2 องศาใน $x$ และ $y$. จึงต้องเป็นรูปกรวย
• ไม่สามารถเป็นวงกลมได้เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ $xy$ ไม่ใช่ศูนย์
• ไม่สามารถเป็นพาราโบลาได้เนื่องจากพาราโบลามีสมมาตรเพียงแกนเดียวในขณะที่เส้นโค้งมีสองแกนอยู่แล้ว
• ค่าสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $y^2$เป็นเครื่องหมายเดียวกัน จึงไม่สามารถเป็นไฮเพอร์โบลาได้เช่นกัน
• ดังนั้นสมการจะต้องเป็นตัวแทนของวงรีโดยมีแกนอยู่ $x=y$ และ $x+y=0$. ดังนั้นจุดศูนย์กลางจึงอยู่ที่$(0,0)$

ดังนั้นคุณต้องหาระยะทางสูงสุดและต่ำสุดของจุดบนวงรีจากจุดศูนย์กลาง เห็นได้ชัดว่าจุดจะอยู่ตามแกน ดังนั้นแก้สมการที่กำหนดด้วย$x=y$ และ $x+y=0$เพื่อรับคะแนน หนึ่งในนั้นจะแสดงระยะทางสูงสุดและอีกอันจะแสดงระยะทางต่ำสุด งานที่เหลือขอฝากไว้กับผู้อ่าน

สุดท้ายนี่คือลักษณะของวงรี

Answer 2

ปล่อย $x=r\cos t, y=r \sin t$ดังนั้น $$r^2(t)=\frac{72}{13-10 \sin t \cos t}=\frac{144}{26-10 \sin 2t}.$$ ดังนั้น $$r^2(t)_{min}=r^2(t=3\pi/4)=\frac{144}{36},~r^2(t)_{max}=r^2(t=\pi/4)=\frac{144}{16}$$ $r_{min}=2, r_{max}=3$เหล่านี้คือแกนกึ่งรองและกึ่งหลักของวงรีซึ่งเอียงเป็นมุม $3\pi/4$ และ $\pi/4$ ด้วยแกน x

Answer 3

รูปแบบของสมการควรระบุให้คุณทราบว่านี่คือวงรีที่มีแกน $45^\circ$หมุนจากแกนมาตรฐาน ดังนั้น LHS จึงสามารถเขียนใหม่ได้ด้วย$(x+y)^2$ และ $(x-y)^2$: $$9(x-y)^2+4(x+y)^2=72$$ $$\frac{(x-y)^2}8+\frac{(x+y)^2}{18}=1$$ ดังนั้นจุดที่ใกล้ที่สุดและไกลที่สุดจากจุดกำเนิดจึงตรงกับจุดยอดของวงรีและมีพิกัดของแบบฟอร์ม $(x,\pm x)$; คุณควรพบว่าแกนกึ่งหลักและกึ่งรองมีความยาว$3$ และ $2$ ตามลำดับโดยให้แกนกึ่งหลักขนานกับ $x=y$. จากนั้นคุณควรจะวาดภาพร่างได้