$|x|^{3/2}$ นูนแรง?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ ถ้าคุณใช้อนุพันธ์อันดับ 2 คุณจะได้ $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ หากคุณทำตามข้อกำหนดที่ว่า $f$ นูนอย่างมากเมื่อ $$f''(x) \geq m \gt 0$$ แล้ว $f$ นูนอย่างมาก

อย่างไรก็ตามหากคุณทำตามข้อกำหนดที่ว่า $f$ นูนอย่างมากเมื่อ

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ นูน $∀x$ และบางส่วน $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ เห็นได้ชัดว่าไม่นูนตั้งแต่นั้นมา $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ สำหรับขนาดใหญ่พอ $x$.

โปรดแจ้งให้ฉันทราบว่าฉันผิดพลาดตรงไหน!

ขอบคุณ

Answer 1

มันเป็นความจริงที่ $f''>0$ กำหนดไว้ที่ไหนและในความเป็นจริง $f$ ยังคงนูนในช่วงเวลาที่มี $0$ ถึงแม้ว่า $f''(0)$ไม่ได้กำหนดไว้จริงๆ (ในแง่ที่ค่อนข้างหลวมคุณสามารถพูดได้$f''(0)=+\infty$.)

อย่างไรก็ตามข้อกำหนดแรกที่คุณกล่าวถึงไม่ได้ถือเป็นเพราะไม่มีตัวเลขเดียว$m>0$ ดังนั้น $f'' \geq m$ ทุกที่ตั้งแต่ $f''$ไปที่ศูนย์ที่อินฟินิตี้ ด้วยประการฉะนี้$f$ ไม่นูนอย่างมาก แต่ก็ยังนูนอย่างเคร่งครัด