อัตรา Libor และ Martingales
เรารู้ว่าอัตรา Libor ไปข้างหน้า $L(t, T, T + \tau)$ในกรณีที่ไม่มีการเก็งกำไรถือเป็น Martingale ภายใต้มาตรการ $T + \tau$เช่น $Q^{T+\tau}$. ในบริบทนี้:
$$ \tag{1}\label{1} L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau \right], $$
ด้วย $t \leq T$. ซึ่งหมายความว่าความคาดหวังภายใต้มาตรการเฉพาะของอัตราสปอต Libor$L(T, T, T + \tau) = \hat{L}(T, T + \tau)$ สามารถคำนวณในเชิงวิเคราะห์ได้
ตอนนี้สั้น ๆ สิ่งที่ฉันต้องการทราบว่าคุณสมบัตินี้สามารถขยายไปยังอัตรา Libor ล่วงหน้าได้หรือไม่:
$$ \tag{2}\label{2} L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(s, T, T + \tau \right], $$
ด้วย $t \leq s \leq T$. หากคุณสามารถตอบคำถามนี้ได้ก็ไม่จำเป็นต้องอ่านต่อไป
ผลลัพธ์ใน \ eqref {1} มีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณจำนวนมาก ตัวอย่างเช่นใช้สำหรับการประเมินค่าแลกเปลี่ยนวานิลลาแสดงว่าราคาขึ้นอยู่กับโครงสร้างระยะของอัตราดอกเบี้ยที่สังเกตได้ในวันที่ประเมินเท่านั้น
ลองวิเคราะห์กรณีที่ง่ายกว่านี้ ลองนึกภาพการชำระเงินต่อไปนี้:
⋅------x//////////x------>
| | |
t Tx = T Tp = T + τ
โดยที่Txแสดงวันที่กำหนดและTpวันที่ชำระเงิน มูลค่าของสัญญานี้ในขณะนั้น$t \leq T_x$ ให้โดย:
$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot L(T, T, T + \tau) \right]\\ V(t) &= P(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau) \right] \end{align} $$
ที่ไหน $D(t, T)$ แสดงถึงปัจจัยส่วนลดและ $P(t, T)$พันธบัตรส่วนลดหรือพันธบัตรคูปองศูนย์ สมการก่อนหน้าให้ผลเป็น (โดยใช้คุณสมบัติที่กำหนดใน \ eqref {1}):
$$ V(t) = P(t, T + \tau) \cdot \tau \cdot L(t, T, T + \tau) $$
จนถึงตอนนี้ดีมาก ตอนนี้ฉันต้องการคำนวณราคาของกระแสการชำระเงินทั่วไปที่กำหนดโดย:
⋅------x----+//////////+----x------>
| | | | |
t Tx Tb Te Tp
โดยที่Txแสดงถึงวันที่กำหนดวันที่Tbเริ่มต้นของวันที่คงค้างวันที่Teสิ้นสุดของวันที่คงค้างและTpวันที่ชำระเงิน
มูลค่าของสัญญานี้ในขณะนั้น $t \leq T_x$ ให้โดย:
$$ \begin{align} V(t) &= \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_p) \cdot \left(T_e - T_b \right) \cdot L(T_x, T_b, T_e) \right]\\ V(t) &= P(t, T_p) \cdot \left(T_e - T_b \right) \cdot \mathbb{E}_t^{T_p} \left[ L(T_x, T_b, T_e) \right] \end{align} $$
ความคาดหวังสุดท้ายนี้ดูเหมือนจะไม่สามารถวิเคราะห์ได้ใช่ไหม? สิ่งที่ฉันอยากรู้คือฉันต้องกำหนดข้อ จำกัด ใดเพื่อแก้ไขในเชิงวิเคราะห์ ตัวอย่างเช่นเพียงพอหรือไม่ที่จะจับคู่เฉพาะวันที่สิ้นสุดและวันที่ชำระเงินเช่น$T_e = T_p$ซึ่งให้ผลกับ:
$$ \begin{align} V(t) &= P(t, T_p) \cdot \left(T_p - T_b \right) \cdot \mathbb{E}_t^{T_p} \left[ L(T_x, T_b, T_p) \right] \end{align} $$
ความคาดหวังนี้สามารถแก้ไขได้หาก \ eqref {2} เป็นจริง บางที \ eqref {2} สามารถแสดงได้โดยใช้คำจำกัดความของอัตราการส่งต่อ Libor:
$$ L(t, T, T + \tau) = \frac{1}{\tau} \cdot \left( \frac{P(t, T)}{P(t, T + \tau)} - 1 \right) $$
ความคิดใด ๆ หรือสิ่งนี้เป็นไปไม่ได้และทั้งสองอย่าง $T_x = T_b$ และ $T_e = T_p$ ควรจะจับคู่เพื่อให้ได้ความคาดหวังที่วิเคราะห์ได้?
สุดท้ายเพื่อความสมบูรณ์ผมอยากจะชี้ให้เห็นว่าเมื่อ $T_e \neq T_p$ความจำเป็นในการปรับความนูนเกิดขึ้น คำถามนี้เป็นคำถามเกี่ยวกับการถามว่าจำเป็นต้องมีการปรับความนูนหรืออย่างอื่นเมื่อใด$T_x \neq T_b$.
คำตอบ
เราจำเป็นต้องใช้คุณสมบัติหอคอยของการคาดหวังตามเงื่อนไข ($t\leq s\leq T$):
$$ \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(s, T, T + \tau)\right] =\mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ \mathbb{E}_s^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau)\right] \right] $$ $$ = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau)\right] = L(t, T, T + \tau) $$