อุทกพลศาสตร์สัมพันธ์ [ปิด]

Question

พิจารณาเทนเซอร์โมเมนตัมพลังงานอุทกพลศาสตร์ในมิติ 3 + 1 ในอวกาศด้วยเมตริก Minkowski $\eta_{\mu\nu}$. พิกัดถูกเลือกเป็น$u^\mu = (t; x; y; z)$. ในลำดับแรกในอนุพันธ์เทนเซอร์โมเมนตัมพลังงานสามารถเขียนเป็น$T^{\mu\nu}=(\epsilon+P)u^\mu u^\nu+P\eta^{\mu\nu}-\eta\Delta^{\mu\alpha} \Delta^{\nu\beta}(\partial_\alpha u_\beta + \partial_\beta u_\alpha -\frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_\lambda u^\lambda)$

ฟิลด์เวกเตอร์ความเร็ว $u^\mu$ ถูกปรับให้เป็นมาตรฐาน $u^\mu u_\mu=-1$ และความดันเป็นหน้าที่ของความหนาแน่นของพลังงาน $P(\epsilon)$(ฟังก์ชันนี้คือสมการของสถานะ) coeffcient$\eta(\epsilon)$(ยังเป็นฟังก์ชันของความหนาแน่นของพลังงาน) เรียกว่าความหนืดเฉือน โปรเจ็กเตอร์$\Delta^{\mu\nu}$ ถูกกำหนดให้เป็น $\Delta^{\mu\nu}=u^\mu u^\nu + \eta^{\mu\nu}$.

(ก.) คำนวณการติดตาม $ T\equiv \eta_{\mu\nu}T^{\mu\nu}$

(ข) อะไรคือร่องรอยของระยะความหนืดจำนวนมากซึ่งเราตั้งค่าเป็นศูนย์ตั้งแต่เริ่มต้น: $T^{\mu\nu}=\dots \zeta\Delta^{\mu\nu}\partial_\lambda u^\lambda.$

มีใครให้คำแนะนำฉันได้บ้าง

Answer 1

ขั้นแรกให้ติดตาม $\eta_{\mu\nu}T^{\mu\nu} = T^{\mu}_{\mu}$. เพียงแค่สลับไฟล์$\nu$ ดัชนีใน Energy-Momentum Tensor ไปที่ด้านล่างและตั้งค่า $\nu = \mu$.

ด้วยสิ่งนี้เรามี $$T^{\mu}_{\mu} = (\epsilon + P)u^{\mu}u_{\mu} + P\eta^{\mu}_{\mu} - \eta\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\beta}_{\mu}(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$

ดังที่กล่าวแล้วว่าการหดตัวของความเร็วทั้งสี่ $u^{\mu}u_{\mu} = -1$. ในทำนองเดียวกันเรามี$\eta^{\mu}_{\mu} = 4$ (เพียงแค่คำนวณผลรวมด้วยตนเอง)

มาลดความซับซ้อนของเงื่อนไขที่ไม่หนืดของเทนเซอร์ก่อน: $$T^{\mu}_{\mu} = 3P-\epsilon - \eta\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\beta}_{\mu}(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$

ตอนนี้ขอคำนวณยักษ์ $\Delta$ ระยะเนื่องจากมันยาวไปหน่อย: $$\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\beta}_{\mu} = (u^{\alpha}u^{\mu}+\eta^{\mu\alpha})(u^{\beta}u_{\mu}+\eta^{\beta}_{\mu})$$ $$ = u^{\alpha}u^{\beta}u^{\mu}u_{\mu} + \eta^{\mu\alpha}u^{\beta}u_{\mu} + \eta^{\mu\alpha}\eta^{\beta}_{\mu} + u^{\alpha}u^{\mu}\eta_{\mu}^{\beta}$$ การใช้คุณสมบัติการเพิ่มและลดของเมตริก $$ = -u^{\alpha}u^{\beta} + u^{\alpha}u^{\beta} + \eta^{\alpha\beta} + u^{\alpha}u^{\beta}$$ ดังนั้น $$\Delta^{\mu\alpha}\Delta^{\beta}_{\mu} = u^{\alpha}u^{\beta}+\eta^{\alpha\beta}$$

ด้วยประการฉะนี้ $$T^{\mu}_{\mu} = 3P-\epsilon - \eta(u^{\alpha}u^{\beta}+\eta^{\alpha\beta})(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$

ที่นี่เรามีคำว่าหนืดขยาย: $$(u^{\alpha}u^{\beta}+\eta^{\alpha\beta})(\partial_{\alpha}u_{\beta} + \partial_{\beta}u_{\alpha} - \frac{2}{3}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$ $$ = u^{\alpha}u^{\beta}\partial_{\alpha}u_{\beta} + u^{\alpha}u^{\beta}\partial_{\beta}u_{\alpha} -\frac{2}{3} u^{\alpha}u^{\beta}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda} + \eta^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}u_{\beta}+ \eta^{\alpha\beta}\partial_{\beta}u_{\alpha} -\frac{2}{3}\eta^{\alpha\beta}\eta_{\alpha\beta}\partial_{\lambda}u^{\lambda})$$ $$ = u^{\alpha}u^{\beta}\partial_{\alpha}u_{\beta} + u^{\alpha}u^{\beta}\partial_{\beta}u_{\alpha} + \frac{2}{3}\partial_{\lambda}u^{\lambda} + \partial_{\alpha}u^{\alpha} + \partial_{\beta}u^{\beta} - \frac{8}{3}\partial_{\lambda}u^{\lambda}$$

จากที่นี่ความจริงที่ว่า $u^{\mu}u_{\mu} = -1 \implies \partial_{\nu}(u^{\mu}u_{\mu}) = 0 \implies u_{\mu}\partial_{\nu}u^{\mu} = 0$ซึ่งฆ่าสองคำแรก $$= \frac{2}{3}\partial_{\lambda}u^{\lambda} + \partial_{\alpha}u^{\alpha} + \partial_{\beta}u^{\beta} - \frac{8}{3}\partial_{\lambda}u^{\lambda}$$

จากตรงนี้เนื่องจากทุกอย่างเป็นดัชนีดัมมี่เราทุกคนสามารถกำหนดอีกครั้งให้เป็นตัวแปรเดียวกัน ($\mu$) และสรุปทั้งหมด: $$ = (\frac{2}{3} + 1 + 1 -\frac{8}{3})\partial_{\lambda}u^{\lambda} = 0$$ ดังนั้นร่องรอยของระยะความหนืดจึงหายไปและเราก็เหลืออยู่ $$T^{\mu}_{\mu} = 3P-\epsilon$$

ตอนนี้สำหรับการคำนวณระยะพิเศษ $T'^{\mu\nu} = \zeta\Delta^{\mu\nu}\partial_{\lambda}u^{\lambda}$, $$T'^{\mu}_{\mu} = \zeta \Delta^{\mu}_{\mu}\partial_{\lambda}u^{\lambda}$$ การคำนวณข้างต้นของเราสามารถนำเราไปสู่ความจริงที่ว่า $\Delta^{\mu}_{\mu} = 3$ และด้วยเหตุนี้ $$T'^{\mu}_{\mu} = 3\zeta\partial_{\mu}u^{\mu}$$ ที่ไหน $\partial_{\mu}u^{\mu}$ คือสี่ความแตกต่างของสี่ความเร็ว