İzin Vermek $ a$sabit bir doğal sayı olabilir. Asal bölenler kümesinin $ 2^{2^{n}} + a$ için $ n = 1,2,\cdots$ sonsuzdur

Question

$\textbf{Question:}$İzin Vermek $ a$sabit bir doğal sayı olabilir. Asal bölenler kümesinin$ 2^{2^{n}} + a$ için $ n = 1,2,\cdots$ sonsuzdur.

Bu sorunun "Kobayashi teoremi" nden kolayca kaynaklandığını öğrendim. Ama bu muhtemelen matematik yarışması durumunda herhangi bir puan vermeyecektir.

Bunun dışında, Öklid'in sonsuzluk asal kanıtının arkasındaki fikri bir şekilde kullanmamız gerektiğini düşünüyorum. Ama çok zor görünüyor. Bu problemde neredeyse hiç ilerleme kaydedemedim. Bu nedenle, her türlü ipucu veya çözüm takdir edilmektedir. Şimdiden teşekkürler.

Answer 1

Sabit sayı a ile formun bir bileşimini elde ettiğimizi varsayalım $N=2^{2^n}+a$bazı asal bölenleri vardır. Bu bileşiklerin sonsuz sayıda olduğunu kanıtlarsak, sabit bir a için N'nin asal bölenlerinin sayısının sonsuz olduğu sonucuna varabiliriz (eğer doğru anladıysam, sorunun sorduğu şey budur).

Bu teoremi Sierpinski'nin bir sayı teorisi kitabında buldum. Kanıt A. Schintzel'e aittir.

Teorem: Her doğal sayı için $k ≠ 1$ n gibi sonsuz sayıda doğal sayı vardır ki bu sayı $2^{2^n}+k$ bileşiktir.

Kanıt:

A keyfi bir doğal sayı ve k birliğe eşit olmayan bir tam sayı olsun. $k-1=2^s h$ nerede $2^s$ en büyük güçtür $2$ hangi böler $k-1$ve h, pozitif veya negatif olabilen tek bir sayıdır. Beni öyle al$2^{2^m}>a-k$ ve t sayısı öyle ki $t≥s$ ve ayrıca $t≥m$. Eğer$2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k> a$ bileşikse, formda bileşik bir sayı var $2^{2^n}+k$a'dan büyük. Yani varsayıyoruz$p=2^{2^t}+k$asal. Dan beri$t≥s$ ve $k-1=2^sh$, sonra bizde:

$p-1=2^{2^t}+k-1=2^sh_1$

nerede $h_1$ pozitif bir tek sayıdır.Şimdi Euler teoremine göre elimizde:

$2^{\phi(h_1)} ≡ 1 \ mod (h_1)$

Dan beri $p-1=2^s h_1$, sonra:

$2^{s+\phi(h_1)}≡ 2^s \ mod (p-1)$

Dan beri $t≥s$ , anlıyoruz:

$2^{t+\phi(h_1)}≡ 2^t \ mod (p-1)$

Son olarak, Fermat'ın küçük teoremi nedeniyle elimizde:

$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k ≡ 2^{2^t}+k≡ 0 \ mod (p)$

Dan beri $2^{t+\phi(h_1)}> 2^t$ sonra yazabiliriz:

$2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k>2^{2^t}+k=p$

Dolayısıyla sayı $2^{2^{t+\phi(h_1)}}+k$ a'dan büyük bir bileşik olacaktır, çünkü:

$p=2^{2^t}+k≥2^{2^m}+k > a$

Kanıt tamamlandı.