Sınırlı gerçek değerli işlev açık $[0,1]$entegre edilemez mi?

Question

Böyle bir işlev var mı? Evet ise, çok patolojik bir vaka olmalı. Burada Lebesgue integrallenebilirliğinden bahsediyorum.

Örneğin, eğer $f(x)=1$ Eğer $x$ rasyoneldir ve aksi halde sıfırdır. $\int_0^1 f(x)dx = 0$. Yani bundan daha patolojik bir örnek bulmalısın. Olası bir örnek aşağıdaki gibidir.

İzin Vermek $f(x)$ bir Gaussian rasgele değişkenin gerçekleşmesi $Z_x$ eşit ortalama $0$ ve varyans eşittir $1$. Varsayalım ki,$Z_x$'ler aynı ve bağımsız olarak dağıtılır. Böyle bir işlev$f(x)$hiçbir yerde sürekli değildir ve beyaz bir gürültünün gerçekleşmesi olarak görülebilir. Ancak, bunun integralinin üzerinde olduğunu iddia edebilirsiniz.$[0,t]$ değer $B(t)$ Brown hareketinin gerçekleşmesinin $B(0)=0$ve zamanında ölçülür $t$. Böylece$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$. Brown hareketlerinin hiçbir yerde ayırt edilemez olduğuna dikkat edin, bu nedenle burada söylediklerimde bir çelişki olabilir.

Her neyse, hiçbir zaman karşı örnekler bulamadım: sınırlanmış bir işlev $[0, 1]$ancak bu aralıkta integrallenemez. Bir örnek gösterebilir misin?

Answer 1

İzin Vermek $f$ sınırlı bir işlev olmak $[0,1]$.

Ya $f$ ölçülebilir ve sonra $$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$ yani $f$ entegre edilebilir.

Ya $f$ölçülebilir değil. Bu, seçim aksiyomunu varsayarsan var olur. Daha sonra ölçülemeyen herhangi bir seti alabilirsiniz$\Omega$ ve Al $f = \chi_\Omega$Nate Eldredge tarafından önerildiği gibi, bu setin karakteristik işlevi. O halde tanım gereği, bu fonksiyon entegre edilemez.