Yol arasındaki fark nedir $\infty$-groupoid ve Düzgün Temel $\infty$-düz bir boşluk grubu

Question

Birkaç gün önce bir soru sordum Yolu kullanan Homotopi Hipotezinin Geometrik / Düzgün bir versiyonu var mı$\infty$- Düzgün Uzayın Grubu mu? içinde MO olası Pürüzsüz / Geometrik sürümü varlığı hakkında Homotopi Hipotez Path kavramını kullanarak$\infty$-düzgün bir boşluk grubu.

@David Roberts ile yorumlar bölümünde yaptığım bir tartışmadan sonra, Path 1-groupoid ve pürüzsüz bir uzayın pürüzsüz temel 1-grupoidinin oldukça farklı nesneler olduğu, ancak "sonsuzluk seviyesine gidersek" hissine kapıldım (ama tamamen ikna olmadım) ve onları Kan Kompleksleri olarak sunun, sonra aynı nesne haline geliyorlar.

3 ay önce aşağıdaki MO sorusunu sordum Bir uzayın temel bir grupoidinin sinirinin geometrik gerçekleşmesi nedir? .

İçindeki tartışmalardan

1. Yolu kullanan Homotopi Hipotezinin Geometrik / Düzgün bir versiyonu var mı? $\infty$- Düzgün Uzayın Grubu mu?

2. Bir uzayın temel bir grupoidinin sinirinin geometrik gerçekleşmesi nedir?

şimdi aşağıdaki Sorularım / Şüphelerim var:

Düzgün bir alanın Düzgün Temel 1-Grupoid ve Yol 1-Grupoid'in inşasının doğal fonktörleri uyardığını biliyoruz. $Man \rightarrow Groupoids$. Şimdi bir uzayın temel bir grupoidinin sinirinin geometrik gerçekleşmesi nedir? Bunu bekliyorum$|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|$ düz uzayın 1. Homotopi gruplarının tüm bilgilerini içerir $X$ nerede $N$olduğu Sinir funktoru,$\pi_{\leq 1}$olan düzgün temel 1-grupoid funktoru ve$|-|$olduğu Geometrik gerçekleşme funktoru. Şimdi aynı prosedürü Path 1-Groupoid functor ile tekrarlayabiliriz$\pi'_{\leq 1}: Man \rightarrow Groupoids$.

Sorularım şu:

1. Dır-dir $|N \circ \pi_{\leq 1}(X)|= |N \circ \pi'_{\leq 1}(X)|$? (nerede "$=$"uygun bir anlamda)

2. Bir Yol sunmanın bir yolu var mı $\infty$Düzgün Temelden farklı olacak şekilde düz bir boşluk grubu $\infty$-uzayın grubu? (Böylece sezgilerimizle eşleşir.$n=1$ durum)

(Tarafından "$n$"Seviye 1'deki Groupoids" demek istiyorum).

Answer 1

Sadece ilk sorunuzu cevaplayabilirim ve cevabım hayır. Örneğin al$X=\mathbb{R}^2$, öyle ki, temel grupoid önemsizdir, ancak grupoid yolu, sabit bir temel noktadan geçen her pozitif yarıçaptaki dairelerle temsil edilen farklı oklar içerir (ve daha pek çoğu). Bu, tüm topoloji sorularını ya da oklar setindeki düzgün yapıyı görmezden geliyor, ki amacınız bu. Ve bu yüzden, bunların sinirlerinin geometrik gerçekleşmeleri zayıf bir şekilde homotopi eşdeğeri bile olamaz, çünkü biri kasılabilir ve sonlu bir şekilde üretilmemiş temel gruba sahiptir.