$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4$para los lados del triangulo$a,b,c$con$ab+bc+ac=1$
Dado que$a,b,c$son las longitudes de los tres lados de un triángulo, y$ab+bc+ac=1$, la cuestión es demostrar$$(a+1)(b+1)(c+1)\leq4\,.$$
Cualquier idea o pista sería apreciada.
Este es el Problema 6 de la Ronda 1 de la BMO (British Mathematical Olympiad) 2010/2011, como se puede ver aquí .
Observación. Esta pregunta ha sido auto-respondida . Sin embargo, ¡cualquier nuevo enfoque siempre es bienvenido!
Respuestas
Sugerencia: Expandir el LHS nos da$(a+1)(b+1)(c+1)=a+b+c+ab+bc+ca+abc+1.$
Ahora,$(1-a)(1-b)(1-c)=1+ab+bc+ca-a-b-c-abc$.
Sumando ambas identidades, obtenemos$$\prod_{cyc}(1+a)+\prod_{cyc}(1-a)=4$$
Gracias a la pista de SarGe, ahora sé cómo resolverlo. Estoy publicando a continuación el resto de una solución siguiendo la sugerencia de SarGe para futuras referencias.
La pregunta se reduce a demostrar$(1-a)(1-b)(1-c)\ge0$. Suponga lo contrario. Entonces tambien$a,b,c\gt1$, o solo uno de$a,b,c$es mayor que 1 (digamos que es$a$). El primer caso es imposible porque contradice$ab+bc+ac=1$obviamente. Para el último caso, aplicando la desigualdad del triángulo,$b+c\gt a\gt1$, y entonces$ab+bc+ac=a(b+c)+bc\gt1$lo cual es una contradicción. Así la prueba está completa.
Bien, primero ampliemos el corchete
$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$.
Ahora sabemos que$ab+ac+bc=1$así que en realidad necesitamos$abc+a+b+c+1 \leq 3$o$abc+a+b+c \leq{2}$.
Ya que$a,b$y$c$forman los lados de un triángulo, sabemos que$a \leq b+c$y$b \leq a+c$y$c \leq a+b$.
Me resultó difícil progresar desde aquí y me preguntaba si el resultado era realmente cierto, así que hice un experimento mental. Déjanos decir$a,b$y$c$son todos iguales a$1/\sqrt{3}$. Esto sería un triángulo equilátero y$ab+bc+ac=1/3+1/3+1/3=1$.
Después$(a+1)(b+1)(c+1)=abc+ab+ac+bc+a+b+c+1$=
$1/3 \sqrt{3}+1/3+1/3+1/3+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1/\sqrt{3}+1=$
$1/3\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1$.
que tiene que ser$\leq{4}$
Sip$1/3\sqrt{3} +\sqrt{3} \leq2$
si y si$1/3+3 \leq 2\sqrt{3}$. Cual es verdad.
Tomemos otro caso extremo:$a$y$b$están justo debajo$1$y$c$esta cerca de$0$entonces también podemos tener$ab+ac+bc=1$. Aquí$(a+1)(b+1)(c+1)$también estará justo debajo$4$entonces creo que la desigualdad es correcta. Puedo mostrar que necesitamos$abc+a+b+c \leq{2}$pero no se como hacerlo ahora. Lo pensare. Pero aún no hemos usado las desigualdades triangulares, así que sospecho que son necesarias.
No poder terminarlo me está matando :)
tenemos que probar$$abc+a+b+c\leq2$$o$$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2\leq4(ab+ac+bc)^3$$o$$\prod_{cyc}(a(b+c-a)+bc)\geq0$$y hemos terminado!
Podemos obtener una última factorización de la siguiente manera.
Para$ab+ac+bc=a^2$obtenemos:$$(abc+(a+b+c)(ab+ac+bc))^2=(abc+(a+b+c)a^2)^2=a^2(a^2+ab+ac+bc)^2=$$ $$=(ab+ac+bc)(2(ab+ac+bc))^2=4(ab+ac+bc)^3$$y como trabajamos con polinomios simétricos, obtuvimos la factorización necesaria.