Acotando un polinomio por una suma con ciertas propiedades

Question

Definir$f:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$por$f(x.y)=(x-1)^2+(y-1)^2$.

Pregunta: ¿Existen funciones continuas?$g,h:[0,\infty) \times [0,\infty) \to [0,\infty)$, satisfactorio

1. $g(x,y)=0$si y solo si$xy=1$.
2. $h(x,y)=0$si y solo si$x=y$.
3. $f(x,y) \le g(x,y)+h(x,y)$.

Comentario: La motivación proviene del caso donde$x,y$se interpretan como valores singulares de un$2 \times 2$matriz. Después$f(x,y)$es la distancia de la matriz a$\operatorname{SO}(2)$.$g$y$h$se interpretan como medidas para la desviación de la matriz de ser conservadora de área y conforme, respectivamente.

Answer 1

Dejar$z = x + i y, \, F(z) = (z-(1+i))^2$. Después$|F(z)| = |(z-(1+i))|^2 = f(x,y)$.

Ahora configura$G(z) = z^2 - 2i$. Después$\Re G(z) = (x-y)(x+y), \, \Im G(z) = 2(xy-1)$.

Calcular$\frac{F(z)}{G(z)} = \frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}$y por lo tanto$$\big|\frac{F(z)}{G(z)}\big| = \big|\frac{z-(1+i)}{z+(1+i)}\big| \le 1$$si y solo si$\Re z + \Im z \ge 0$, lo cual es ciertamente cierto si$x \ge 0, \, y \ge 0$.

Por lo tanto, ahora tiene para$x, \, y \ge 0$ $$ f(x,y) = |F(z)| \le |G(z)| \le |\Re G(z)| + |\Im G(z)|= |x-y||x+y| + 2|xy-1| $$y puedes leer$g$y$h$.