Agregar una fase a qubit: ¿por qué es necesario para una puerta de qubit única arbitraria?

Question

Una sola puerta de qubit arbitraria se puede descomponer como:

$$U=e^{i \alpha} R_z(\beta) R_y(\gamma) R_z(\delta)$$

Observamos que además de las tres rotaciones, hay un coeficiente $e^{i \alpha}$. Lo que me molesta es que esta fase extra$e^{i \alpha}$realmente no debería importar, ya que solo agregará una fase global en el cálculo. Entonces, ¿por qué suele estar escrito? ¿Es porque queremos identificar "matemáticamente" la expresión del unitario pero en términos de física esta fase nunca se agregará en la práctica en una computadora cuántica?

Answer 1

Una razón por la que necesitamos eso $e^{i \alpha}$ término:

Es cierto que la fase global $e^{i \alpha}$ no cambiará la acción de la puerta, pero consideremos estas dos puertas:

$$ U1\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \qquad R_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} e^{-i \frac{\pi}{4}} & 0 \\ 0 & e^{i \frac{\pi}{4}} \end{pmatrix}$$

Se puede ver fácilmente que $R_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = e^{-i \frac{\pi}{4}} U1\big(\frac{\pi}{2}\big)$. Entonces, ambas puertas se diferencian por una fase global$e^{-i \frac{\pi}{4}}$lo que significa que son equivalentes cuando los aplicamos en los circuitos. Sin embargo, como se discutió en esta pregunta [1] y en esta respuesta [2], las versiones de control de estas puertas no son equivalentes entre sí :

$$ CU1\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 &0 \\ 0 & 0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 &i \end{pmatrix} \qquad CR_z\big(\frac{\pi}{2}\big) = \begin{pmatrix} 1 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 &0 \\ 0 & 0 &e^{-i \frac{\pi}{4}} &0 \\ 0 & 0 &0 &e^{i \frac{\pi}{4}} \end{pmatrix}$$

Entonces, si estamos tratando de construir un circuito aplicando una versión de control de algún unitario, no se debe descuidar la fase global del unitario. Este escenario no es raro. Por ejemplo, en el algoritmo QPE (y por tanto en HHL), debemos tener cuidado con la fase global en el unitario cuyas versiones controladas se utilizan en el algoritmo.