¿Algún semigrupo finito de este tipo es un monoide izquierdo?
Dejar $(S, \cdot, e)$ ser un semigrupo $(S, \cdot)$ con operación binaria $e$ en el que las identidades $e(x, y)\cdot x\approx x$ y $e(x, y)\approx e(y, x)$ sostener.
En esta pregunta pregunté si tal semigrupo es necesariamente un monoide izquierdo. Ejemplo que me dio J.-E. Pin muestra que esto no es cierto. Claramente,$(\mathbb{Z}, \min, \max)$ no es un monoide izquierdo pero satisface esas identidades.
Un monoide izquierdo es un semigrupo con identidad izquierda.
Como no pude encontrar un semigrupo finito como este que no sería un monoide izquierdo, e intenté verificar los semigrupos de orden GAP $\leq 4$, Sospecho que todos los semigrupos finitos de esta forma son monoides dejados por algunas razones combinatorias.
Lamentablemente, no estoy seguro de cómo obtener todos los semigrupos de pedidos, por ejemplo, $\leq 7$, que no quedarían monoides y serían semigrupos lwr, aparte de tomar todos los semigrupos que no son monogénicos o monoides usando el paquete Smallsemi de GAP y verificar si son de esta forma a mano creando una tabla de multiplicar. Como puede imaginar, esto es muy tedioso.
¿Existe un semigrupo finito de esta forma, que no sea un monoide izquierdo, y si es así, puede dar un ejemplo de orden mínimo?
Respuestas
Cualquier semigrupo finito no vacío $S$de este tipo tiene una identidad de izquierda. Primero observa que para todos$x, y \in S$, $$ (1) \quad e(x,y)x = x \text{ and } e(x,y)y = e(y,x)y = y. $$ Desde $S$ es finito, contiene un idempotente $x_0$. Dejar$S = \{x_0, x_1, \ldots, x_n\}$ y deja $(a_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ ser la secuencia de elementos de $S$ definido por $a_0 = x_0$ y para $1 \leqslant i \leqslant n$, $a_i = e(a_{i-1},x_i)$.
Reclamo :$a_n$ es una identidad de izquierda de $S$.
Primero observe que, por $1 \leqslant i \leqslant n$, \begin{align} &(2) \quad& a_ia_{i-1} &= e(a_{i-1},x_i)a_{i-1} = a_{i-1} \\ &(3) \quad& a_ix_i &= e(a_{i-1},x_i)x_i = x_i \end{align} Probemos ahora por inducción en $k = i+j$ Eso para $0 \leqslant i \leqslant j$, $$ (4) \quad a_jx_i = x_i. $$ Si $k = 0$, luego $i = j = 0$ y $a_0x_0 = x_0$ desde $x_0$es idempotente. Suponga que (4) se cumple para$i + j \leqslant k$ y supongamos que $i + j = k+1$. Si$i = j$, entonces (4) se sigue de (3). Si ahora$i \leqslant j-1$, luego $a_{j-1}x_i = x_i$por la hipótesis de inducción. De ello se deduce (2) que$$ a_jx_i = a_j(a_{j-1}x_i) = (a_ja_{j-1})x_i = a_{j-1}x_i = x_i. $$ Esto prueba la afirmación y concluye la prueba.