Ameba de tamaño extra grande escapa

Dec 01 2020

Como una extensión de la pregunta de @WhatsUp aquí , cuyas reglas se incluyen a continuación, con las siguientes diferencias:

En uno de los cuadrados vive una ameba (marcada como un círculo en las siguientes imágenes).

En algunos de los cuadrados, hay amebas (marcadas como verde / amarillo en la siguiente imagen).

En la cuadrícula, hay una región llamada "la prisión" (pintada de gris en las siguientes imágenes).

Aquí "la prisión" consta de todos los cuadrados amarillos y verdes.

  1. Si el cuadrado amarillento inferior está desocupado, ¿podrán escapar las amebas? ¿Qué tan difícil es?

  2. La noche antes de que se inicie su escape, la celda amarilla se llena con una nueva ameba prisionera (todos los amarillos y verdes se consideran llenos), ¿qué pueden hacer ahora?

Referencia

Hay una cuadrícula infinita de cuadrados.

En uno de los cuadrados vive una ameba (marcada como un círculo en las siguientes imágenes).

Las amebas no pueden moverse, pero pueden realizar su acción única: una ameba puede dividirse en dos amebas, que son idénticas a la original, y cada una ocupará un cuadrado que está (ortogonalmente) adyacente al cuadrado original.

Dado que cada cuadrado solo puede acomodar una ameba, una división solo puede ocurrir cuando la ameba tiene al menos dos cuadrados adyacentes vacíos (si hay más de dos, entonces puede elegir libremente en qué cuadrados dividirse). Además, dos amebas no deben dividirse simultáneamente, por lo que no debe ocurrir ningún conflicto.

En la cuadrícula, hay una región llamada "la prisión" (pintada de gris en las siguientes imágenes). El objetivo es dejar que las amebas escapen de la prisión, es decir, alcanzar un estado en el que no haya amebas en la prisión.

Respuestas

8 PaulPanzer Dec 01 2020 at 09:59

Responda a la P2. Como @Milo Brandt señala en un comentario a la Q referenciada, existe la siguiente mitad invariante:

Ponga coordenadas enteras en la cuadrícula con (0,0) siendo el centro de la cruz. Peso al cuadrado (n, m) por$2^{-\lvert n \rvert - \lvert m \rvert}$. Entonces uno puede verificar fácilmente que

1. el peso de todo el tablero (infinito) es 9 (ver imagen)
y
2. el peso de los cuadrados ocupados por amebas nunca baja.

Como el peso de toda la cruz es $4\frac 1 2$ que es igual al peso de su complemento (infinito), la ameba no puede escapar en un número finito de movimientos.