Análisis complejo calculando la integral

Question

yo=$\int_\gamma \operatorname{Im}(z)\mathrm dz$

$\gamma$es el intervalo entre$\omega_1=0$y$\omega_2=1+2\mathrm i$

¿Cómo puedo calcular la integral anterior? No tengo ningún proceso sobre esta pregunta. Lo siento .

Answer 1

Basta con aplicar la definición: Si$D\subseteq\mathbb C$,$\gamma:[a,b]\to D$es la parametrización de una curva suave y$f:D\to\mathbb C$, después

$$\int_\gamma f(z)\mathrm dz:=\int_a^b \gamma'(t) f(\gamma(t))\mathrm dt.$$

En tu caso,$\gamma:[0,1]\to\mathbb C,~\gamma(t)=(1+2\mathrm i)t$es una parametrización adecuada, y$f(z)=\operatorname{Im}z$. Conectando todo:

$$\int_\gamma\operatorname{Im}z\mathrm dz=\int_0^1(1+2\mathrm i)\operatorname{Im}((1+2\mathrm i)t)\mathrm dt=\int_0^1(1+2\mathrm i)2t\mathrm dt.$$

Creo que puedes hacer el resto por ti mismo.