Aplicación del teorema del cambio de variables sobre la bola n.

Question

Sea f:$\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ser función continua y$z \in \mathbb{R}^n$. Muestra esa$$ \int_Bf(\langle x,z \rangle)=\int_Bf(x_n|z|) $$dónde$x=(x_1,...,x_n)$y$B=\{x\in \mathbb{R}^n ; |x| \leq 1\}$.

Mi idea es aplicar el teorema del cambio de variables. Traté de encontrar una transformación ortogonal.$h(x)=Qx$tal que$|detDh|=|detQ|=|\pm1|=1$. Pero no pude encontrar tal transformación. Agradecería cualquier consejo sobre cómo encontrar esta transformación o una nueva idea sobre cómo resolver este problema.

Answer 1

Tenga en cuenta que si$z=0$, entonces la igualdad se cumple trivialmente, así que supongamos$z\neq 0$. Una forma de especificar una transformación ortogonal (o en realidad cualquier transformación lineal) es especificar qué le hace a una base.

Ya que$z\neq 0$, el complemento ortogonal$\{z\}^{\perp} = \ker(\langle z, \cdot\rangle)$es un$n-1$subespacio dimensional de$\Bbb{R}^n$. Ahora, elige una base ortonormal.$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}\}$para este subespacio, y definir$\zeta := \frac{z}{\lVert z \rVert}$. Después,$\{\xi_1, \dots, \xi_{n-1}, \zeta\}$es una base ortonormal para$\Bbb{R}^n$. Definir$h:\Bbb{R}^n \to \Bbb{R}^n$ser la transformación lineal tal que \begin{align} \begin{cases} h(\xi_i) &= e_i \quad \text{for$i\in \{1,\dots, n-1\}$} \\ h(\zeta) &= e_n \end{cases} \end{align} donde$\{e_1, \dots, e_n\}$es la base ortonormal ordenada estándar de$\Bbb{R}^n$. Ahora, desde$h$es una transformación lineal que mapea una base ortonormal biyectivamente a una base ortonormal, se sigue que$h$conserva los productos internos, es decir, es una transformación lineal ortogonal (lo que automáticamente significa$|\det h| = 1$).

Esta transformación tiene la propiedad adicional de que$h(z) = h(\lVert z \rVert \zeta) = \lVert z\rVert h(\zeta) = \lVert z\rVert e_n$; es decir, mapas$z$a lo positivo$n^{th}$eje.