Aplicar la probabilidad condicional dos veces
Aug 17 2020
Según la ley de la probabilidad total, sé que $P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)$. Aplicando la misma lógica, me gustaría decir que$$P(A|B) = P(A|B,C)P(C) + P(A|B,C^c)P(C^c)$$ Sin embargo, sé que esta conclusión es incorrecta porque cuando expande las probabilidades, el LHS no coincide con el RHS.
¿Cómo podría expandirme adecuadamente? $P(A|B)$ condicionando en otro evento, digamos $C$?
Respuestas
JohnWhite Aug 18 2020 at 02:52
$$ P(A|B) = \frac{P(A,B)}{P(B)} = \frac{P(A,B,C) + P(A,B,C^c)}{P(B)} = \frac{P(A|B,C)P(B,C) + P(A | B, C^c)P(B,C^c)}{P(B)} $$
$$ = P(A|B,C)P(C|B) + P(A | B, C^c)P(C^c|B) $$