Aproximación de fluido incompresible y velocidad de fluido vs sonido
Considere el siguiente caso: Un tubo recto, con un caudal másico constante de agua. $\dot m_{in}=\dot m_{out}$ , y con una potencia lineal entrando en ella $\dot Q [\frac W m]$. Y el agua es la fase líquida en todo el tubo.
Mi profesor nos dijo que en este caso el fluido incompresible es una buena aproximación si la velocidad del agua es mucho menor que la velocidad del sonido. ¿Puede explicarme por qué debería ser un buen criterio? En particular, lo que me confunde es que la densidad debería cambiar según la región de temperatura.
Respuestas
Depende de la velocidad.
En particular, lo que me confunde es que la densidad debería cambiar según la región de temperatura.
Dijo que el agua permanece líquida a lo largo del tubo, y si echa un vistazo a las propiedades del agua en la tabla a presión atmosférica en el rango de 32 a 90 grados Celsius, el cambio en la densidad sería de aproximadamente 3%, por lo que difícilmente compresible.
La definición matemática de incompresibilidad de flujo es que la divergencia del vector de velocidad es cero: $$ \nabla.\vec{V}= \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 $$
Pero esta definición puede ser algo confusa, por ejemplo, la variación de la densidad del agua a temperatura ambiente es insignificante, como en nuestro ejemplo anterior. Pero si bombeó la misma agua a velocidades cercanas a la velocidad del sonido específica del material, el flujo ahora es comprimible.
Entonces, se dice que un flujo es comprimible si su velocidad es aproximadamente el 30% de su velocidad de sonido o su número de Mach $\text{Ma}_{crit} \ge 0.3$.
La velocidad del sonido en el agua a 20 grados C es aproximadamente $1,480$ m / s, y la velocidad correspondiente en $\text{Ma} = 0.3$ es $v = 444$ m / s, lo cual no es difícil de lograr usando un chorro de agua.
Entonces, en su problema puede calcular el rango de velocidades que podría tener y comparar con $\text{Ma}_{crit}$, para comprobar si el flujo de su fluido se aproxima como compresible o incompresible.
Nota: Esta respuesta se basa en la discusión de Rodríguez sobre la aproximación incompresible en dinámica de fluidos computacional, muy recomendable.
La pregunta confunde dos conceptos separados. Una es la idea de flujo incompresible y la otra es flujo de densidad constante.
El profesor se refiere a un criterio que le permite utilizar las ecuaciones de flujo incompresible, sin adición de calor. Cuando deriva las ecuaciones de flujo más generales, utilizando la Segunda Ley de Newton, Conservación de masa y Ecuación de estado, encuentra que hay un parámetro importante llamado Número de Mach, M, definido como la velocidad del fluido dividida por la velocidad local del sonido. Más aún, M aparece como M ^ 2, y este último aparece a menudo en términos como (1 - M ^ 2). Cuando estudias estas ecuaciones, encuentras que si descuidas M ^ 2 en comparación con la unidad, encuentras que no puede haber variación en la densidad. Por lo tanto, si M ^ 2 es << 1, puede usar las ecuaciones de flujo incompresible, sin adición de calor. Prácticamente esto significa para flujos donde aproximadamente M ^ 2 <0.1, o M <0.3.
Con la adición de calor, debe invocar, además de los principios mencionados anteriormente, la Ecuación de energía. Se trata de un conjunto mucho más complicado y, a menudo, es ventajoso buscar simplificaciones menos precisas, pero muy útiles, a menos que sea obvio que los cambios en la densidad, por cualquier motivo, son características importantes del flujo.