Bi-aniquilador de un subespacio del dual de un espacio vectorial de dimensión infinita

Question

Dejar$V$sea ​​un espacio vectorial de dimensión infinita y$V^*$es dual.
Para un subespacio lineal$W\subset V$definir$W^ \circ\subset V^*$como el subespacio de formas lineales en$V$desapareciendo en$W$.
dualmente, por$\Gamma\subset V^*$definir$\Gamma^\diamond \subset V$como el conjunto de vectores$v\in V$tal que$\gamma(v)=0$para todas las formas lineales$\gamma\in \Gamma$.
Es un poco sorprendente pero no demasiado difícil mostrar que tenemos para todos los subespacios$W\subset V$la igualdad$(W^\circ) ^\diamond=W$.
Pero, ¿es cierto que para todos$\Gamma\subset V^*$tenemos$(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
¿Y hay alguna referencia (artículo, libro, apuntes,...) donde se mencione este problema?

Answer 1

No,$(\Gamma^\diamond)^\circ$no tiene por qué ser siempre igual$\Gamma$. Dejar$\mathcal B$ser una base para$V$, y deja$\Gamma$sea ​​el lapso del conjunto 'dual'$\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, asi que$e_b(c)$es el soporte de Iverson $[b = c]$para todos$b, c \in \mathcal B$. Después$\Gamma^\diamond$es$0$, asi que$(\Gamma^\diamond)^\circ$es todo de$V^*$; pero$\Gamma$en sí mismo no contiene, por ejemplo, el elemento$\sum_{b \in \mathcal B} e_b$de$V^*$.

Answer 2

La igualdad es falsa en general.
He aquí un contraejemplo: fijar una base$v_i, i\in I$de$V$y considere el conjunto de formas lineales coordinadas$v^*_i, i\in I$.
Estas formas son linealmente independientes pero nunca forman una base ya que$V$es de dimensión infinita.
Así que complete estos formularios a una base$(v^*_j), j\in J$con$J\setminus I\neq\emptyset$.
Elegir$l\in J\setminus I$y pon$J'=J\setminus \{l\}$
si defines$\Gamma \subset V^*$como el espacio vectorial generado por el$v_j^*, j\in J'$, después$\Gamma^\diamond =0$(puesto que ya el subespacio de$V^*$generado por el$v_i^*, i\in I$matar todos los vectores en$V$) de modo que$\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$dando el contraejemplo requerido.