Biyección continua $f: X \to Y$ desde un espacio compacto $X$ a un espacio de Hausdorff $Y$

Question

Suponer $X$ es un espacio compacto y $Y$ es Hausdorff tal que $f: X \to Y$es una biyección continua. ¿Cuál de lo siguiente es cierto?

(YO) $f$ Esta abierto.

(II) $f$ es un homeomorfismo local.

(III) $f^{-1}$ es continuo.

Algunas observaciones y preguntas:

1. $Y$ es compacto como la imagen continua de un conjunto compacto es siempre compacto.

2. Ya que $f$ es continua, la imagen previa de cada set abierto en $Y$ es un set abierto en $X$. Pero, ¿podemos estar seguros de que cada conjunto abierto en$X$ se asigna a un conjunto abierto en $Y$ por $f$? ¿Por qué o por qué no?

3. El homeomorfismo local es un término nuevo para mí. Wikipedia dice que$f$ es un homeomorfismo local si cada punto de $X$ tiene un vecindario (conjunto abierto que contiene el punto) que es homeomorfo a un subconjunto abierto de $Y$. No estoy seguro si$f$es localmente homeomorfo o no. ¿Algunas ideas?

4. por $f^{-1}$ Para ser continuo, necesitamos que la imagen previa de cada set abierto en $X$ es un set abierto en $Y$ debajo $f^{-1}$. ¿Está esto de alguna manera relacionado con si$f$es un mapa abierto? Bueno, eso creo. Si$f$ está abierto, cada conjunto abierto en $X$ se asigna a un conjunto abierto en $Y$. Y desde$f$ es continua, la imagen previa (imagen debajo $f^{-1}$) de cada set abierto en $Y$ es un set abierto en $X$. Por lo tanto, si$f$ está abierto, el abierto se pone en $X$ y $Y$ estará en biyección, y necesariamente $f^{-1}$será continuo. Así que creo que si (I) es cierto, (III) sigue inmediatamente. ¿Es esto correcto?

Answer 1

Yo es verdad como $f$está cerrado, como mostré aquí , en resumen:$C \subseteq X$ cerrado, implica $C$ compacto, entonces $f[C]$ compacto y un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff está cerrado, por lo que $f[C]$ está cerrado.

Y una biyección obedece $f[X\setminus O]=Y\setminus f[O]$ así que cuando $O \subseteq X$ Esta abierto, $ X\setminus O$ está cerrado, por lo que su imagen está cerrada y así $f[O]= Y\setminus f[X\setminus O]$ está abierto en $Y$.

Entonces $f$ es una biyección continua abierta (y cerrada) y, por tanto, un homeomorfismo (si $g: Y \to X$ es el mapa inverso, $g^{-1}[O]=f[O]$ está abierto en $Y$ para todos abiertos $O$ en $X$. Así que yo también se sostiene.

II es entonces trivial, porque podemos para cada $x \in X$ tomar $X$ ser un homeomorfo de barrio para $Y$ (que es trivialmente un barrio de $f(x)$). Un homeomorfismo es trivialmente un homeomorfismo local.

Entonces, todos se derivan bastante directamente del hecho de que ya tenemos incluso sin una biyección, pero solo continuidad: $f$ es un mapa cerrado.