Calcular algunas integrales que involucran funciones elípticas de Jacobi
Quiero evaluar las siguientes integrales $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ y $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ dónde $\text{sn}$, $\text{dn}$ y $\text{cn}$son las funciones esnoidal , dnoidal y cnoidal de Jacobi Elliptic ,$K:=K(k)$ es la integral elíptica completa del primer tipo y número $k \in \left(0,1\right)$ se llama módulo.
Ya consulté la referencia $[1]$en busca de alguna fórmula que me ayude, pero no encontré nada. ¿Tienen estas integrales una forma explícita? ¿Hay otras referencias a las que pueda referirme para ayudarme?
$[1]$PF Byrd. MD Friedman. Manual de Integrales Elípticas para Ingenieros y Científicos. Springer-Verlag Nueva York Heidelberg Berlim,$1971$.
Respuestas
Mediante las relaciones fundamentales (B&F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ podemos transformar la primera integral dada en $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ Por B&F 364.03 podemos reescribir esto como una integral completamente racional, que se evalúa fácilmente: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ Cuando transformamos la segunda integral dada obtenemos $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ en cuyo punto nos damos cuenta de que este es solo un caso especial de la primera integral dada con $k^2=1$, por lo que inmediatamente obtenemos el resultado como $\frac\pi{16}$.